Nos itens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais
é crescente; (ii) os intervalos nos quais
é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais
é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais
é côncava para baixo; (v) as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(i) intervalos em que é crescente;
(ii) intervalos em que é decrescente;
(iii) intervalos abertos em que é côncava para cima;
(iv) intervalos abertos em que é côncava para baixo;
(v) abscissas de pontos de inflexão;
(vi) extremos relativos de .
Para isso, vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e analisar seus sinais.
(i) intervalos em que
(ii) intervalos em que
(iii) intervalos abertos em que
(iv) intervalos abertos em que
(v) abscissas de pontos de inflexão;
(vi) extremos relativos de
Para isso, vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e analisar seus sinais.
Passo 2
Calculemos as derivadas:
Aqui
nos dá a monotonicidade de
e
nos dá a concavidade de
.
Passo 3
Para encontrar onde
é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
:
-
se e somente se , i.e.\ . -
se e somente se , i.e.\ .
Logo,
(i) é crescente em
.
(ii) é decrescente em
.
(i)
(ii)
Passo 4
Para concavidade, usamos
, que é constante e positiva:
-
para todo , então é côncava para cima em toda a reta real. - Nunca ocorre
, logo não é côncava para baixo em nenhum ponto.
Assim,
(iii) é côncava para cima em
.
(iv) não é côncava para baixo em nenhum intervalo.
(iii)
(iv)
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem quando
muda de sinal. Como
é sempre positivo, não há mudança de sinal.
(v) Não existem pontos de inflexão.
Passo 6
Extremos relativos de
são pontos onde
muda de sinal:
- Em
, passa de negativo (para ) a positivo (para ).
Isto caracteriza um mínimo relativo em, com valor .
Não há ponto ondepasse de positivo a negativo, logo não há máximo relativo.
(vi) Há um único extremo relativo: mínimo em
.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em
(ii)
(iii)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em