Nos itens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais f é crescente; (ii) os intervalos nos quais f' é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais f' é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais f' é côncava para baixo; (v) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
f(x)=x^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2
e pede:
(i) intervalos em que f é crescente;
(ii) intervalos em que f é decrescente;
(iii) intervalos abertos em que f é côncava para cima;
(iv) intervalos abertos em que f é côncava para baixo;
(v) abscissas de pontos de inflexão;
(vi) extremos relativos de f.
Para isso, vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e analisar seus sinais.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
f'(x)=ddx(x^2)=2x,
f''(x)=ddx(2x)=2
Aqui f'(x) nos dá a monotonicidade de f e f''(x) nos dá a concavidade de f.

Passo 3

Para encontrar onde f é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de f'(x)=2x:
  • f'(x)>0 se e somente se 2x>0, i.e.\ x>0.
  • f'(x)<0 se e somente se 2x<0, i.e.\ x<0.
Logo,
(i) f é crescente em (0,infty).
(ii) f é decrescente em (- infty,0).

Passo 4

Para concavidade, usamos f''(x)=2, que é constante e positiva:
  • f''(x)>0 para todo x, então f é côncava para cima em toda a reta real.
  • Nunca ocorre f''(x)<0, logo f não é côncava para baixo em nenhum ponto.
Assim,
(iii) f é côncava para cima em (-infty,infty).
(iv) f não é côncava para baixo em nenhum intervalo.

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x) muda de sinal. Como f''(x)=2 é sempre positivo, não há mudança de sinal.
(v) Não existem pontos de inflexão.

Passo 6

Extremos relativos de f são pontos onde f' muda de sinal:
  • Em x=0, f'(x) passa de negativo (para x<0) a positivo (para x>0).
    Isto caracteriza um mínimo relativo em x=0, com valor f(0)=0.
    Não há ponto onde f' passe de positivo a negativo, logo não há máximo relativo.
(vi) Há um único extremo relativo: mínimo em l(0,0r).

Resposta

(i) (0,infty)
(ii) (-infty,0)
(iii) (-infty,infty)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em l(0,0r)$

Exercícios relacionados