Para cada uma das seguintes proposições, dê uma prova ou um contra-exemplo. Assuma a, b, c, d, m in Z: Se m neq 0, então a mid b se e só se ma|mb.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, para inteiros a,b,m com mneq0, vale a equivalência amid b se e só se mamid mb. O conteúdo envolve a definição de divisibilidade e a propriedade de cancelamento em Z.

Passo 2

Suponha primeiro que amid b. Pela definição de divisibilidade existe kin Z tal que b = a k. Multiplicando ambos os lados por m obtemos
mb = m,(a k) = (m a),k, \nou seja, mamid mb.

Passo 3

Agora suponha que mamid mb. Então existe kin Z com
mb = (ma),k = m,a,k
Como mneq0 e Z é domínio de integridade, podemos cancelar m em ambos os lados e chegar a
b = a,k,
logo amid b.

Passo 4

Portanto, demonstramos as duas implicações e concluímos que, para todo inteiro mneq0,
amid b Long<=ftrightarrow mamid mb

Resposta

A proposição é verdadeira para todo inteiro mneq0, conforme a prova acima.

Exercícios relacionados