Para cada uma das seguintes proposições, dê uma prova ou um contra-exemplo. Assuma
: Se
, então
se e só se ma|mb.
Passo 1
A questão pede para mostrar que, para inteiros
com
, vale a equivalência
se e só se
. O conteúdo envolve a definição de divisibilidade e a propriedade de cancelamento em
.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Pela definição de divisibilidade existe
tal que
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Agora suponha que
. Então existe
com
Como
e
é domínio de integridade, podemos cancelar
em ambos os lados e chegar a
logo
.
Passo 4
Portanto, demonstramos as duas implicações e concluímos que, para todo inteiro
,
Resposta
A proposição é verdadeira para todo inteiro
, conforme a prova acima.