Qetermine
real para que as equações abaixo admitam pelo menos uma raiz real.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem essa equação exponencial:
Nosso objetivo é encontrar o valor real de
que faz com que essa equação tenha pelo menos uma solução real para
. Vamos usar conceitos de equações exponenciais e transformar essa equação em uma quadrática para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Observe que
. Vamos chamar
. Assim, a equação fica:
Simplificando os coeficientes:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Passo 3
Para que a equação quadrática tenha pelo menos uma solução real, o discriminante
deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, queremos que
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Para resolver essa inequação quadrática, vamos encontrar as raízes da equação
.
Passo 5
Calculando as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Então, as raízes são:
Passo 6
A inequação
terá soluções quando
estiver fora do intervalo entre as raízes. Ou seja:
Resposta
Os valores reais de
que fazem a equação ter pelo menos uma raiz real são todos os
tais que:
Ou seja,