Qetermine m real para que as equações abaixo admitam pelo menos uma raiz real.
2^2 x+1-(2 m-3) cdot 2^x+1+(7-2 m)=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem essa equação exponencial:
2^2x + 1 - (2m - 3) cdot 2^x + 1 + (7 - 2m) = 0
Nosso objetivo é encontrar o valor real de que faz com que essa equação tenha pelo menos uma solução real para . Vamos usar conceitos de equações exponenciais e transformar essa equação em uma quadrática para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Observe que 2 cdot y^2 - (2m - 3) cdot 2 cdot y + (7 - 2m) = 0 . Vamos chamar 2y^2 - 2(2m - 3)y + (7 - 2m) = 0 . Assim, a equação fica:
Simplificando os coeficientes:
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:

Passo 3

Para que a equação quadrática tenha pelo menos uma solução real, o discriminante De deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por:
De
Vamos calcular:
De
De
De

Passo 4

Agora, queremos que 16m^2 - 32m - 20 >= 0 :
4m^2 - 8m - 5 >= 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Para resolver essa inequação quadrática, vamos encontrar as raízes da equação .

Passo 5

Calculando as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, De, m = 8 pm raiz1448 , e m = 8 pm 128 :
m1 = 208 = 2,5
m2 = -48 = -0,5
Então, as raízes são:

Passo 6

A inequação m <= -0,5 ou m >= 2,5 terá soluções quando estiver fora do intervalo entre as raízes. Ou seja:

Resposta

Os valores reais de m <= -12 ou m >= 52 que fazem a equação ter pelo menos uma raiz real são todos os m in (-infty, -0,5] cup [2,5, infty) tais que:
Ou seja,

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