Determine o máximo divisor comum dos seguintes pares de inteiros: 3^7 times 5^3 times 7^3, 2^11 times 3^5 times 5^9.

Passo 1

O enunciado pede o máximo divisor comum (MDC) de dois números já escritos em fatoração prima: A=3^7times5^3times7^3 e B=2^11times3^5times5^9. Vamos usar a definição de MDC em termos de fatoração prima.

Passo 2

Para calcular o MDC de dois números em fatoração prima, basta pegar cada primo comum e usar o menor expoente que ele aparece nos dois números. Primeiro, listamos os expoentes de cada primo em A e B:
  • Primo 2: nos números temos expoentes 0 em A e 11 em B.
  • Primo 3: expoentes 7 em A e 5 em B.
  • Primo 5: expoentes 3 em A e 9 em B.
  • Primo 7: expoentes 3 em A e 0 em B.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do mínimo expoente pra cada primo:
  • 2: min(0,11)=0 então não aparece no MDC.
  • 3: min(7,5)=5, fica 3^5.
  • 5: min(3,9)=3, fica 5^3.
  • 7: min(3,0)=0 não aparece.
Dessa forma, temos:
gcd(A,B)=3^5times5^3

Passo 4

Para chegar ao valor numérico, calculamos 3^5=243 e 5^3=125, depois multiplicamos:
243times125=30375

Resposta

30375

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