Para cada uma das seguintes sequências, use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar a convergência da sequência e encontrar seu limite.
.
Passo 1
Temos a sequência
. O conteúdo é o Teorema da Convergência Monótona e vamos precisar verificar que
é monótona (a partir de certo índice) e limitada para concluir que converge.
Passo 2
Observe que para todo
temos
. Logo,
é limitada inferiormente por zero.
Passo 3
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Passo 4
Para
temos
, ou seja,
. Assim, a partir de
a sequência é decrescente.
Passo 5
Como para
a sequência é decrescente e está limitada inferiormente por zero, pelo Teorema da Convergência Monótona concluímos que
converge.
Passo 6
Para achar o limite, seja
. Da relação
e tomando limite em ambos os lados, como
, obtemos
Passo 7
Portanto,
.
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