Para cada uma das seguintes sequências, use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar a convergência da sequência e encontrar seu limite.
(4^nn!).

Passo 1

Temos a sequência an = 4^nn!. O conteúdo é o Teorema da Convergência Monótona e vamos precisar verificar que (an) é monótona (a partir de certo índice) e limitada para concluir que converge.

Passo 2

Observe que para todo n temos an>0. Logo, (an) é limitada inferiormente por zero.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 4^n+1/(n+1)!4^n/n! = 4n+1

Passo 4

Para n>=4 temos 4n+1<1, ou seja, an+1. Assim, a partir de n=4 a sequência é decrescente.

Passo 5

Como para n>=4 a sequência é decrescente e está limitada inferiormente por zero, pelo Teorema da Convergência Monótona concluímos que (an) converge.

Passo 6

Para achar o limite, seja L=limntoinftyan. Da relação an+1=tfrac4n+1an e tomando limite em ambos os lados, como limntoinftytfrac4n+1=0, obtemos
L = 0cdot L = 0

Passo 7

Portanto, limntoinfty4^nn!=0.

Resposta

0

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