Calcule lim n infty xn se
xn=n[(a+1n)^4-a^4] ( resp: 4 a^3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o limite limntoinfty xn, onde xn = nl[(a + tfrac1n)^4 - a^4r]. O conteúdo envolvido é limite de sequência e expansão binomial; vamos usar o teorema do binômio para aproximar a diferença.

Passo 2

Pelo teorema do binômio, expandimos (a + tfrac1n)^4:
(a + tfrac1n)^4 = a^4 + 4a^3tfrac1n + 6a^2tfrac1n^2 + 4atfrac1n^3 + tfrac1n^4
Subtraindo a^4 e multiplicando por n, temos:
xn = nl[(a + tfrac1n)^4 - a^4r] = nl[4a^3tfrac1n + 6a^2tfrac1n^2 + 4atfrac1n^3 + tfrac1n^4r]

Passo 3

Distribuindo o n em cada termo:
xn = 4a^3 + 6a^2tfrac1n + 4atfrac1n^2 + tfrac1n^3
Agora basta observar o comportamento desses termos quando ntoinfty: os termos 6a^2tfrac1n, 4atfrac1n^2 e tfrac1n^3 tendem a zero.

Passo 4

Portanto, tomando o limite, ficamos com 4a^3 como único termo sobrevivente.

Resposta

4a^3

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