Determine se a sequência definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite.
a1=raiz2, a2=raiz2 raiz2, a3=raiz2 raiz2 raiz2, ldots
Note que (an) pode ser definida recursivamente como a1=raiz2 e an+1=raiz2 an para n >= 1.
Mostre que L=2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência definida por a1=raiz2 e an+1=raiz2,an converge e, em caso positivo, achar o limite. O conteúdo envolve sucessões recursivas, provas por indução, monotonia, limites e o teorema de convergência de sequências monotônicas.

Passo 2

Vamos provar por indução que a sequência é limitada superiormente por 2 (e sempre positiva). Base: a1=raiz2<2. Passo indutivo: suponha 0. Então
an+1=raiz2,an
Como cada an>0 e an<2, fica provado que 0 para todo n.

Passo 3

Agora mostramos que a sequência é estritamente crescente. Note que
an+1>an Long<=ftrightarrow raiz2,an>an Long<=ftrightarrow 2,an>an^2 Long<=ftrightarrow an(2-an)>0
Como já vimos que an>0 e an<2, o produto an(2-an) é positivo, logo an+1>an para todo n.

Passo 4

Temos então que (an) é uma sequência crescente e limitada acima por 2. Pelo teorema de convergência de sequências monotônicas, ela converge a um limite L.

Passo 5

Para achar L, basta passar ao limite na relação de recorrência. Se an+1=raiz2,an e anto L, vem
L=raiz2L

Passo 6

Elevando ao quadrado:
L^2=2LLong<=ftrightarrow L(L-2)=0

Passo 7

Como an>0 para todo n, o limite não pode ser zero. Logo L=2.

Resposta

2

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