Determine se a sequência definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite.
Note que
pode ser definida recursivamente como
e
para
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência definida por
e
converge e, em caso positivo, achar o limite. O conteúdo envolve sucessões recursivas, provas por indução, monotonia, limites e o teorema de convergência de sequências monotônicas.
Passo 2
Vamos provar por indução que a sequência é limitada superiormente por 2 (e sempre positiva). Base:
. Passo indutivo: suponha
. Então
Como cada
Passo 3
Agora mostramos que a sequência é estritamente crescente. Note que
Como já vimos que
Passo 4
Temos então que
é uma sequência crescente e limitada acima por 2. Pelo teorema de convergência de sequências monotônicas, ela converge a um limite
.
Passo 5
Para achar
, basta passar ao limite na relação de recorrência. Se
e
, vem
Passo 6
Elevando ao quadrado:
Passo 7
Como
para todo
, o limite não pode ser zero. Logo
.
Resposta
2