Os números de Fibonacci são definidos recursivamente pela sequência Fn onde F0=0, F1=1 e para n >= 2, Fn=Fn-1+Fn-2.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as seguintes etapas.
Considere as duas soluções da parte b .: lambda1 e lambda2. Seja Fn=c1 lambda1^n+c2 lambda2^n. Use as condições iniciais F0 e F1 para determinar os valores para as constantes c1 e c2 e escreva a fórmula fechada Fn.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede: dado que os números de Fibonacci satisfazem F₀=0, F₁=1 e Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂, queremos achar a fórmula fechada Fₙ=c₁·λ₁ⁿ+c₂·λ₂ⁿ usando as duas raízes λ₁ e λ₂ da equação característica.

Passo 2

Para encontrar λ₁ e λ₂, escrevemos a equação característica associada à recorrência:
r^2 - r - 1 = 0
Resolvendo-a, temos
lambda1 = 1 + raiz52, lambda2 = 1 - raiz52

Passo 3

Agora usamos F₀=0 em F₀=c₁·λ₁⁰+c₂·λ₂⁰, ou seja, c₁+c₂=0. Desse modo concluímos que c₂=-c₁.
Em seguida, aplicamos F₁=1 em F₁=c₁·λ₁+c₂·λ₂. Substituindo c₂=-c₁, obtemos c₁(λ₁-λ₂)=1. Como λ₁-λ₂=√5, temos c₁=1/√5 e c₂=-1/√5.

Resposta

Fn=lambda1^n-lambda2^nraiz5

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