Os números de Fibonacci são definidos recursivamente pela sequência
onde
e para
.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as seguintes etapas.
Considere as duas soluções da parte b .:
e
. Seja
. Use as condições iniciais
e
para determinar os valores para as constantes
e
e escreva a fórmula fechada
.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as seguintes etapas.
Considere as duas soluções da parte b .:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede: dado que os números de Fibonacci satisfazem F₀=0, F₁=1 e Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂, queremos achar a fórmula fechada Fₙ=c₁·λ₁ⁿ+c₂·λ₂ⁿ usando as duas raízes λ₁ e λ₂ da equação característica.
Passo 2
Para encontrar λ₁ e λ₂, escrevemos a equação característica associada à recorrência:
Resolvendo-a, temos
Passo 3
Agora usamos F₀=0 em F₀=c₁·λ₁⁰+c₂·λ₂⁰, ou seja, c₁+c₂=0. Desse modo concluímos que c₂=-c₁.
Em seguida, aplicamos F₁=1 em F₁=c₁·λ₁+c₂·λ₂. Substituindo c₂=-c₁, obtemos c₁(λ₁-λ₂)=1. Como λ₁-λ₂=√5, temos c₁=1/√5 e c₂=-1/√5.
Em seguida, aplicamos F₁=1 em F₁=c₁·λ₁+c₂·λ₂. Substituindo c₂=-c₁, obtemos c₁(λ₁-λ₂)=1. Como λ₁-λ₂=√5, temos c₁=1/√5 e c₂=-1/√5.