Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[50]{n^{57}+1}} \quad Escolher \ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[50]{n^{57}+1}}
A pergunta é: a série é convergente ou divergente? E qual teste pode ser usado para confirmar isso?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os termos têm sinal alternado por causa de (-1)^{n}.
  • O módulo dos termos é
a_n := \frac{1}{\sqrt[50]{n^{57}+1}}.
  • Para grandes n, intuitivamente a_n se comporta como 1/n^{57/50} (porque (n^{57})^{1/50}=n^{57/50}).

Passo 2

Estratégia: é mais forte mostrar primeiro se a série converge absolutamente. Se a série dos módulos \sum a_n converge, então a série original converge absolutamente (portanto converge). Para testar \sum a_n vou usar a comparação com uma p-série, porque \sum 1/n^{p} tem critério simples:
  • Teorema (p-série): a série \sum_{n} \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
Aqui vamos comparar a_n com a p-série de expoente p=\dfrac{57}{50}. Note que
p=\frac{57}{50}=1{,}14>1,
portanto \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n^{57/50}} converge.

Passo 3

Aplicando uma comparação direta (explicando por que a desigualdade vale): para todo n\ge 2 (na verdade para todo n\ge1) tem-se n^{57}+1 \ge n^{57}. Tomando raiz enésima de ordem 50 (função crescente para argumentos positivos),
(n^{57}+1)^{1/50} \ge (n^{57})^{1/50} = n^{57/50}.
Invertendo (recíproco) mantém a desigualdade no sentido necessário:
\frac{1}{(n^{57}+1)^{1/50}} \le \frac{1}{n^{57/50}}.
Ou seja, para todo n\ge2,
a_n \le \frac{1}{n^{57/50}}.
Como já lembramos, \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n^{57/50}} é uma p-série convergente porque 57/50>1. Pelo Teste da Comparação (se 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge então \sum a_n converge), concluímos que
\sum_{n=2}^\infty a_n = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n^{57}+1)^{1/50}}
converge.
(Observação alternativa rápida: usando o Teste da Comparação por Limite, calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^{57}+1)^{1/50}}{1/n^{57/50}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{57}}{n^{57}+1}\right)^{1/50}=1,
o que também mostra convergência absoluta, pois a razão limite é finita e positiva e a p-série converge.)

Passo 4

Conclusão sobre a série original: como a série dos módulos \sum a_n converge, a série original com sinais alternados converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (não há dúvida de condicionalidade aqui — é absoluta).
Uma palavra de incentivo: deu trabalho só de olhar o expoente, mas a ideia foi simples — comparar com uma p-série. Isso é um truque que vale a pena guardar para a prova!

Resposta

Convergente (convergência absoluta). Teste: comparação direta com a p-série \sum \dfrac{1}{n^{57/50}} (ou, alternativamente, teste da comparação por limite).

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