Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
Escolher
Passo 1
O enunciado nos dá a série
A pergunta é: a série é convergente ou divergente? E qual teste pode ser usado para confirmar isso?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os termos têm sinal alternado por causa de
. - O módulo dos termos é
- Para grandes
, intuitivamente se comporta como (porque ).
Passo 2
Estratégia: é mais forte mostrar primeiro se a série converge absolutamente. Se a série dos módulos
converge, então a série original converge absolutamente (portanto converge). Para testar
vou usar a comparação com uma p-série, porque
tem critério simples:
- Teorema (p-série): a série
converge se, e somente se, .
Aqui vamos comparar
com a p-série de expoente
. Note que
portanto
converge.
Passo 3
Aplicando uma comparação direta (explicando por que a desigualdade vale): para todo
(na verdade para todo
) tem-se
. Tomando raiz enésima de ordem
(função crescente para argumentos positivos),
Invertendo (recíproco) mantém a desigualdade no sentido necessário:
Ou seja, para todo
,
Como já lembramos,
é uma p-série convergente porque
. Pelo Teste da Comparação (se
e
converge então
converge), concluímos que
converge.
(Observação alternativa rápida: usando o Teste da Comparação por Limite, calcular
o que também mostra convergência absoluta, pois a razão limite é finita e positiva e a p-série converge.)
Passo 4
Conclusão sobre a série original: como a série dos módulos
converge, a série original com sinais alternados converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (não há dúvida de condicionalidade aqui — é absoluta).
Uma palavra de incentivo: deu trabalho só de olhar o expoente, mas a ideia foi simples — comparar com uma p-série. Isso é um truque que vale a pena guardar para a prova!
Resposta
Convergente (convergência absoluta). Teste: comparação direta com a p-série
(ou, alternativamente, teste da comparação por limite).