Para cada uma das seguintes trajetórias r(\theta) determine a força determine a força correspondente. Considere r_{0}, e, \beta, A e B constantes.
r(\theta)=r_{0} /(1-e \cos \theta);

Passo 1

O enunciado dá uma órbita em coordenadas polares
r(\theta)=\frac{r_{0}}{1 - e\cos\theta},
e pede a força central correspondente. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Binet para forças centrais: se definirmos
u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)},
e se h for o momento angular por unidade de massa (isto é, h=r^{2}\dot\theta), então a componente radial da força sobre uma partícula de massa m é
F(r) \;=\; -\,m\,h^{2}\,u^{2}\,\Bigl(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\Bigr).

Passo 2

Vamos escrever u(\theta) e suas derivadas. Da órbita
r(\theta)=\frac{r_{0}}{1 - e\cos\theta}
segue
u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)}=\frac{1 - e\cos\theta}{r_{0}}.
Derivando em relação a \theta:
\frac{du}{d\theta} =\frac{e\sin\theta}{r_{0}}, \qquad \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} =\frac{e\cos\theta}{r_{0}}.

Passo 3

Agora formamos \dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u =\frac{e\cos\theta}{r_{0}} +\frac{1 - e\cos\theta}{r_{0}} =\frac{1}{r_{0}}.
Logo, pela fórmula de Binet,
F(r) =-\,m\,h^{2}\,u^{2}\,\frac{1}{r_{0}} =-\,\frac{m\,h^{2}}{r_{0}}\;\frac{1}{r^{2}}.

Passo 4

Basta definir a constante \beta como
\beta=\frac{m\,h^{2}}{r_{0}},
de modo que a força central que gera a órbita dada é
F(r)=-\frac{\beta}{r^{2}}.

Resposta

A força central correspondente à trajetória
r(\theta)=\frac{r_{0}}{1 - e\cos\theta}
é
F(r)=-\frac{\beta}{r^{2}},
com \beta=\tfrac{m\,h^{2}}{r_{0}}.

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