Considerando o caso de interface única plana e horizontal, obtenha uma expressão para a distância crítica em função das velocidades na camada superior v_{1} e na camada inferior v_{2} mostre que, se a razão entre as velocidades da onda nas camadas inferior e superior for igual a \sqrt{5}, a distância crítica será igual à profundidade da interface.

Passo 1

O enunciado trata de uma única interface plana e horizontal, situada a uma profundidade d abaixo da superfície, separando duas camadas com velocidades de onda \,v_{1} (acima) e \,v_{2} (abaixo). Queremos achar a distância crítica x_{c} medida ao longo da superfície, a partir do ponto de fonte, na qual o percurso refratado (que viaja parcialmente ao longo da interface) chega ao geofone exatamente no mesmo tempo que o percurso direto na camada superior. Para isso usaremos a Lei de Snell e relações trigonométricas simples.

Passo 2

Na situação de refração crítica, o ângulo de incidência \theta_{c} na interface satisfaz a Lei de Snell com seno máximo igual a 1 na segunda camada. Assim,
\sin\theta_{c} \;=\;\frac{v_{1}}{v_{2}}\,.

Passo 3

Geometricamente, cada ramo do raio (descida e subida) faz um ângulo \theta_{c} com a vertical. A projeção horizontal de um ramo vale d\tan\theta_{c}, pois a profundidade é d. Como há descida e subida, a distância crítica é
x_{c} \;=\;2\,d\,\tan\theta_{c}\,.

Passo 4

Expressamos \tan\theta_{c} em função de v_{1} e v_{2}. Sabendo que
\tan\theta_{c} =\frac{\sin\theta_{c}}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta_{c}}} =\frac{\displaystyle\frac{v_{1}}{v_{2}}} {\sqrt{1-\displaystyle\bigl(\frac{v_{1}}{v_{2}}\bigr)^{2}}} =\frac{v_{1}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}\,,
segue que
x_{c} =2\,d\,\frac{v_{1}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}\,.

Passo 5

Se a razão entre as velocidades for
\displaystyle\frac{v_{2}}{v_{1}}=\sqrt{5}, então
v_{2}^{2}-v_{1}^{2} =5\,v_{1}^{2}-v_{1}^{2} =4\,v_{1}^{2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=2\,v_{1}.
Logo
x_{c} =2\,d\,\frac{v_{1}}{2\,v_{1}} =d.

Resposta

A expressão geral é
x_{c} =2\,d\,\frac{v_{1}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}\,,
e, se \tfrac{v_{2}}{v_{1}}=\sqrt{5}, então x_{c}=d.

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