(2,5) Duas partículas são mantidas fixas no eixo x : a partícula 1 , de carga q_{1}=2,1 \times 10^{-4} \mathrm{C}, no ponto x=20 \mathrm{~cm}, e a partícula 2 , de carga q_{2}=-4,00 q_{1}, no ponto x=70 \mathrm{~cm}. (a) Em que ponto do eixo \times 0 campo elétrico total é nulo? (b) Defina campo elétrico e explique como ele é representado em termos de linhas de campo. (c) Qual é a relação entre a densidade das linhas de campo e a intensidade do campo elétrico?

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas puntiformes fixas no eixo x:
q_{1}=2,1\times10^{-4}\,\mathrm{C} em x_{1}=0,20\,\mathrm{m} (carga positiva).
q_{2}=-4,00\,q_{1} em x_{2}=0,70\,\mathrm{m} (carga negativa).
(a) Pede-se o ponto no eixo x onde o campo elétrico total \mathbf{E}_\text{tot} é nulo.
(b) Define-se campo elétrico e explica-se seu traçado por linhas de campo.
(c) Estabelece-se a relação entre densidade de linhas de campo e intensidade de \mathbf{E}.
Para (a) vamos usar a superposição de campos e a lei de Coulomb
\mathbf{E}(x)=k\,\frac{q}{(x-x_i)^2}\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\,,
onde k é a constante eletrostática.

Passo 2

Em um ponto x do eixo, o campo total é
E_\text{tot}(x)=E_1(x)+E_2(x)
com
E_1(x)=k\,\frac{q_{1}}{(x-x_{1})^{2}}\cdot\mathrm{sgn}(x-x_{1}) \quad\text{e}\quad E_2(x)=k\,\frac{q_{2}}{(x-x_{2})^{2}}\cdot\mathrm{sgn}(x-x_{2})\,.
Para anular \mathbf{E}_\text{tot} basta igualar em módulo e fazermos as direções opostas:
\frac{q_{1}}{(x-x_{1})^{2}}=\frac{|q_{2}|}{(x-x_{2})^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_{1}}{(x-0,20)^{2}}=\frac{4\,q_{1}}{(x-0,70)^{2}}.

Passo 3

Cancelando q_{1} e reescrevendo,
(x-0,70)^{2}=4\,(x-0,20)^{2}
dá duas raízes:
1. x-0,70=2\,(x-0,20); \Rightarrow\;x=1,10\,\mathrm{m}.
2. x-0,70=-2\,(x-0,20); \Rightarrow\;x=-0,30\,\mathrm{m}.

Passo 4

Verifique os sinais de E_1 e E_2 em cada região para garantir que em cada solução os campos realmente se oponham:
– Em x>0,70\,\mathrm{m} os dois campos têm sentidos opostos, cancelam-se em x=1,10\,\mathrm{m}.
– Em x<0,20\,\mathrm{m} também se opõem, cancelam-se em x=-0,30\,\mathrm{m}.
O campo entre 0,20 e 0,70 não zera pois os dois vetores apontam no mesmo sentido.

Passo 5

O campo elétrico em um ponto do espaço é definido como a força elétrica por unidade de carga de prova:
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q_\text{teste}}.
Ele é representado por linhas de campo tais que
– em cada ponto a tangente à linha indica a direção de \mathbf{E},
– as linhas (“fluxo”) saem de cargas positivas e terminam em cargas negativas.

Passo 6

A densidade de linhas de campo (número de linhas por unidade de área perpendicular) é proporcional à intensidade \bigl|\mathbf{E}\bigr|. Onde \mathbf{E} é maior, as linhas aparecem mais juntas.

Resposta

(a) x=-0,30\,\mathrm{m} ou x=1,10\,\mathrm{m}.
(b) O campo elétrico em um ponto é a força elétrica por unidade de carga de prova, \mathbf{E}=\mathbf{F}/q. Representa-se por linhas de campo cuja tangente indica direção e cujas setas mostram sentido (saem de positivas, entram em negativas).
(c) A densidade de linhas de campo é diretamente proporcional à intensidade do campo elétrico: quanto maior \bigl|\mathbf{E}\bigr|, maior o número de linhas por área.

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