Para cada uma das seguintes transformações lineares calcular: O núcleo, uma base para o núcleo e sua dimensão. Também determinar a Imagem, uma base para a imagem e sua dimensão. Justificar se a transformação linear é injetora ou sobrejetora.
(d) T: M2(R) R^2, T(lla & b c & d)=(a-b, a+b)

Passo 1

A transformação dada é T: M2(R)toR^2,
Tl(a & b c & dr)=(a-b,,a+b).
Precisamos achar o núcleo (solução de T(A)=0) e a imagem (conjunto de todos os (a-b,a+b)), além de bases e dimensões, e verificar injeção e sobrejeção.

Passo 2

Para encontrar o núcleo, impomos
Somando as duas equações vem logo , e então . As variáveis ficam livres.

Passo 3

Portanto
ker T=l0 & 0 c & d:c,dinRr
Uma base natural é dada pelas matrizes
E21=0 & 01 & 0, E22=0 & 00 & 1
Logo dim(ker T)=2.

Passo 4

A imagem é o conjunto
Isso é o mesmo que o espaço gerado pelos vetores
pois

Passo 5

Os vetores (1,1) e (-1,1) são linearmente independentes (determinante 2neq0), então
ImT=R^2,dim(ImT)=2

Passo 6

Como ker Tneq0, T não é injetora. Mas ImT=R^2 mostra que ela é sobrejetora.

Resposta

Núcleo:
ker T=l0 & 0 c & d:c,dinRr,
base E21,E22, dimensão 2.
Imagem:
ImT=R^2,
base (1,1),(-1,1), dimensão 2.
Injetora? Não. Sobrejetora? Sim.

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