Para cada uma das seguintes transformações lineares calcular: O núcleo, uma base para o núcleo e sua dimensão. Também determinar a Imagem, uma base para a imagem e sua dimensão. Justificar se a transformação linear é injetora ou sobrejetora.
(d)
(d)
Passo 1
A transformação dada é
,
.
Precisamos achar o núcleo (solução de ) e a imagem (conjunto de todos os
), além de bases e dimensões, e verificar injeção e sobrejeção.
Precisamos achar o núcleo (solução de
Passo 2
Para encontrar o núcleo, impomos
Somando as duas equações vem
logo
, e então
. As variáveis
ficam livres.
Passo 3
Portanto
Uma base natural é dada pelas matrizes
Logo
.
Passo 4
A imagem é o conjunto
Isso é o mesmo que o espaço gerado pelos vetores
pois
Passo 5
Os vetores
e
são linearmente independentes (determinante
), então
Passo 6
Como
,
não é injetora. Mas
mostra que ela é sobrejetora.
Resposta
Núcleo:
base
, dimensão 2.
Imagem:
Imagem:
base
, dimensão 2.
Injetora? Não. Sobrejetora? Sim.
Injetora? Não. Sobrejetora? Sim.