Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
(c) T in L(R^4, R^4) definida por T(x1, x2, x3, x4)= (0, x1+x2, x2+x3, x3+x4) ;

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma transformação linear T:R^4toR^4 dada por T(x1,x2,x3,x4) = (0,,x1+x2,,x2+x3,,x3+x4), em relação às bases canônicas de R^4. Vamos usar o fato de que a matriz de T tem colunas iguais a T(ej), onde ej são os vetores da base canônica.

Passo 2

Em R^4, a base canônica é e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0) e e4=(0,0,0,1). Vamos calcular T(ej) para cada j=1,2,3,4.

Passo 3

Para e1=(1,0,0,0):
T(e1)=T(1,0,0,0)=(0,,1+0,,0+0,,0+0)=(0,1,0,0)
Então a primeira coluna da matriz de T é (0,1,0,0)^top.

Passo 4

Para e2=(0,1,0,0):
T(e2)=T(0,1,0,0)=(0,,0+1,,1+0,,0+0)=(0,1,1,0)
A segunda coluna é (0,1,1,0)^top.

Passo 5

Para e3=(0,0,1,0):
T(e3)=T(0,0,1,0)=(0,,0+0,,0+1,,1+0)=(0,0,1,1)
A terceira coluna é (0,0,1,1)^top.

Passo 6

Para e4=(0,0,0,1):
T(e4)=T(0,0,0,1)=(0,,0+0,,0+0,,0+1)=(0,0,0,1)
A quarta coluna é (0,0,0,1)^top.

Passo 7

Montando a matriz cujas colunas são T(e1),T(e2),T(e3),T(e4), obtemos:

Resposta

[T]can= 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1

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