Seja
uma curva parametrizada regular
de modo que
0.4
a) Determine as possíveis formas de
.
b) Que tipo de curva é
.
0.4
1
0.4
b) Que tipo de curva é
0.4
1
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva regular
, de classe
, sujeita à equação
O conteúdo envolvido é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes; vamos primeiro reduzir a ordem e depois integrar.
Passo 2
Defina
. Então a EDO de segunda ordem se torna a EDO de primeira ordem
Esta é uma EDO linear de coeficiente constante cuja solução geral é
onde
é um vetor constante.
Passo 3
Como
, integramos em
para obter
onde
é vetor constante de integração. Em notação simples:
Para regularidade, requeremos
.
Passo 4
Note que todos os pontos de
pertencem à reta afim que passa por
na direção de
. De fato, escrevendo
, temos
com
, o que descreve uma semirreta aberta nessa reta. Logo, geometricamente
é (uma parametrização diferenciável de) uma reta.
Resposta
a)
, com
constantes e
.
b) A imagem de é (uma semirreta de) uma reta afim em
.
b) A imagem de