Seja theta: R R^2 uma curva parametrizada regular C^2 de modo que
0.4
theta^prime prime(t)=-theta^prime(t) para todo, t in R
a) Determine as possíveis formas de theta.
b) Que tipo de curva é theta.
0.4
1

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva regular thetacolon RtoR^2, de classe C^2, sujeita à equação
theta''(t)=-theta'(t)
O conteúdo envolvido é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes; vamos primeiro reduzir a ordem e depois integrar.

Passo 2

Defina v(t)=theta'(t). Então a EDO de segunda ordem se torna a EDO de primeira ordem
v'(t)=-v(t)
Esta é uma EDO linear de coeficiente constante cuja solução geral é
v(t)=A,e^-t,
onde AinR^2 é um vetor constante.

Passo 3

Como theta'(t)=A,e^-t, integramos em t para obter
theta(t)=integral A,e^-t,dt=-A,e^-t+B,
onde BinR^2 é vetor constante de integração. Em notação simples:
theta(t)=B - A,e^-t
Para regularidade, requeremos Aneq0.

Passo 4

Note que todos os pontos de theta(t)=B - A,e^-t pertencem à reta afim que passa por B na direção de A. De fato, escrevendo s=-e^-t, temos theta(t)=B + s,A com sin(-infty,0), o que descreve uma semirreta aberta nessa reta. Logo, geometricamente theta é (uma parametrização diferenciável de) uma reta.

Resposta

a) theta(t)=B - A,e^-t, com A,BinR^2 constantes e Aneq0.
b) A imagem de theta é (uma semirreta de) uma reta afim em R^2.

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