Para cada uma das FT a seguir, determine ζ e ω_{n} e caracterize a natureza da resposta;
\mathrm{G}(s)=\frac{900}{s^{2}+90 s+900}

Passo 1

O enunciado pede: para a função de transferência
G(s)=\frac{900}{s^{2}+90s+900},
determinar o coeficiente de amortecimento \zeta, a frequência natural \omega_{n} e caracterizar a natureza da resposta (se é subamortecida / subamortecimento, criticamente amortecida, superamortecida / sobreamortecida, etc.).
Informações dadas: o denominador é s^{2}+90s+900 e o numerador é 900.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma padrão de uma função de segunda ordem e o que significam \omega_{n} e \zeta.
A forma canônica de um sistema de segunda ordem (normalizado) é
\frac{K\,\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}.
Explicando cada coisa de forma simples e direta:
  • \omega_{n} é a frequência natural (em rad/s): é a frequência com que o sistema oscilaria se não houvesse amortecimento.
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (adimensional): indica quanto o sistema é amortecido.
  • O coeficiente 2\zeta\omega_{n} aparece multiplicando s no denominador. Para identificar \zeta e \omega_{n} basta comparar o denominador dado com essa forma padrão.

Passo 3

Compare o denominador dado com a forma padrão:
s^{2}+90s+900 \quad\text{versus}\quad s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Logo, pelos termos correspondentes, tem-se
\omega_{n}^{2}=900
e
2\zeta\omega_{n}=90.

Passo 4

Calcule \omega_{n} a partir de \omega_{n}^{2}=900:
\omega_{n}=\sqrt{900}=30\\ \text{(rad/s)}.
Agora calcule \zeta usando 2\zeta\omega_{n}=90:
\zeta=\frac{90}{2\cdot 30}=\frac{90}{60}=1,5.

Passo 5

Interpretação do valor de \zeta:
  • Se \zeta<1 o sistema é subamortecido (resposta oscilatória amortecida).
  • Se \zeta=1 é criticamente amortecido (maior velocidade de retorno sem oscilações).
  • Se \zeta>1 é superamortecido (overdamped): resposta sem oscilações, soma de duas exponenciais decrescentes com taxas diferentes.
Como aqui \zeta=1,5>1, o sistema é superamortecido (não oscila, não apresenta overshoot).

Passo 6

Para visualizar os polos (opcional, mas didático), calcule as raízes do denominador:
s=\frac{-90\pm\sqrt{90^{2}-4\cdot 1\cdot 900}}{2} =\frac{-90\pm\sqrt{4500}}{2} =-45\pm 15\sqrt{5}.
Numericamente:
s_{1}\approx -11,459\quad\text{e}\quad s_{2}\approx -78,541,
dois polos reais e negativos (confirmando superamortecimento). A resposta ao degrau será uma combinação
de duas exponenciais \mathrm{e}^{s_{1}t} e \mathrm{e}^{s_{2}t}, sem oscilações. O polo dominante (o que determina a velocidade de decaimento) é s_{1}\approx -11,459; sua constante de tempo é \tau\approx 1/11{,}459\approx 0,0873\\ \text{s} (apenas para dar uma ideia de ordem de magnitude da resposta no tempo).

Resposta

\zeta=1,5
\omega_{n}=30\\ \text{rad/s}
Natureza: sistema superamortecido (overdamped; polos reais negativos, sem oscilações)

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