Em cada sentença abaixo, marque V quando a alternativa for verdadeira ou F quando for talsa. Caso seja falsa, justifique.
(a)
A série
é convergente.
(b) -( ) A série
é uma série geométrica convergente, cuja soma
.
© - ( ) Usando o critério do termo geral, podemos afirmar que a série
é convergente.
(d) - ( Usando o critério do termo geral, podemos afirmar que a série
é divergente.
(e) - ( ) Usando o critério de Leibnitz, nada podemos afirmar sobre a convergència da série
.
- Resposta. Todas as alternativas sāo falsas.
(a)
(b) -( ) A série
© - ( ) Usando o critério do termo geral, podemos afirmar que a série
(d) - ( Usando o critério do termo geral, podemos afirmar que a série
(e) - ( ) Usando o critério de Leibnitz, nada podemos afirmar sobre a convergència da série
Passo 1
Vamos resolver cada uma das afirmações sobre séries para determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos precisar entender conceitos de séries geométricas, critério do termo geral e critério de Leibniz para convergência.
Passo 2
(a) A série é
. Vamos analisar cada parte:
- A série
é geométrica com razão . Como , ela converge. - A série
é geométrica com razão . Aqui, , então ela diverge.
Como uma das partes diverge, a soma das duas séries também diverge.
Resposta: Falso. A partediverge.
Passo 3
(b) A série é
. Podemos reescrever:
.
Esta é uma série geométrica com razão . Como
, a série converge.
Para a soma:
, onde
.
.
Resposta: Falso. A série converge, mas a soma não é 2.
Esta é uma série geométrica com razão
Para a soma:
Resposta: Falso. A série converge, mas a soma não é 2.
Passo 4
© A série é
. Usando o critério do termo geral, verificamos o limite:
.
Como o limite do termo geral não é zero, a série diverge.
Resposta: Falso. A série é divergente, mas a afirmação diz que ela é convergente.
Como o limite do termo geral não é zero, a série diverge.
Resposta: Falso. A série é divergente, mas a afirmação diz que ela é convergente.
Passo 5
(d) A série é
. Novamente, aplicando o critério do termo geral:
.
Como o limite não é zero, a série diverge.
Resposta: Verdadeiro. A série é divergente.
Como o limite não é zero, a série diverge.
Resposta: Verdadeiro. A série é divergente.
Passo 6
(e) A série é
. Usando o critério de Leibniz:
Para séries alternadas , a série converge se:
Para séries alternadas
-
é decrescente. -
.
Aqui,, que é decrescente e tende a zero.
Portanto, a série converge.
Resposta: Falso. Podemos sim afirmar que a série converge pelo critério de Leibniz.
Resposta
As alternativas (a), (b) e © são falsas, a alternativa (d) é verdadeira e a alternativa (e) é falsa.