Em cada sentença abaixo, marque V quando a alternativa for verdadeira ou F quando for talsa. Caso seja falsa, justifique.
(a) -( A série sumn >= 1(35)^n+(53)^n é convergente.
(b) -( ) A série sumn >= 1 (-2)^n-23^n é uma série geométrica convergente, cuja soma s=2.
© - ( ) Usando o critério do termo geral, podemos afirmar que a série sumn=1^infty 3 n^2+25 n-3 é convergente.
(d) - ( Usando o critério do termo geral, podemos afirmar que a série sumn=1^infty 3 n+25 n-3 é divergente.
(e) - ( ) Usando o critério de Leibnitz, nada podemos afirmar sobre a convergència da série sumn=1^infty (-1)^n+1n.
  • Resposta. Todas as alternativas sāo falsas.

Passo 1

Vamos resolver cada uma das afirmações sobre séries para determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos precisar entender conceitos de séries geométricas, critério do termo geral e critério de Leibniz para convergência.

Passo 2

(a) A série é sumn >= 1(35)^n+(53)^n. Vamos analisar cada parte:
  • A série sumn >= 1(35)^n é geométrica com razão r = 35. Como |r| < 1, ela converge.
  • A série sumn >= 1(53)^n é geométrica com razão r = 53. Aqui, |r| > 1, então ela diverge.
    Como uma das partes diverge, a soma das duas séries também diverge.
    Resposta: Falso. A parte (53)^n diverge.

Passo 3

(b) A série é sumn >= 1 (-2)^n-23^n. Podemos reescrever:
(-2)^n-23^n = (-23)^n-2 cdot 13^2 = (-23)^n cdot 3^2 = 9 (-23)^n.
Esta é uma série geométrica com razão r = -23. Como |r| = 23 < 1, a série converge.
Para a soma:
S = a1 - r, onde a = 9 (-23)^1 = -6.
S = -61 - (-23) = -653 = -185 neq 2.
Resposta: Falso. A série converge, mas a soma não é 2.

Passo 4

© A série é sumn=1^infty 3 n^2+25 n-3. Usando o critério do termo geral, verificamos o limite:
limn to infty 3 n^2+25 n-3 = limn to infty 3n^25n = limn to infty 3n5 = infty neq 0.
Como o limite do termo geral não é zero, a série diverge.
Resposta: Falso. A série é divergente, mas a afirmação diz que ela é convergente.

Passo 5

(d) A série é sumn=1^infty 3 n+25 n-3. Novamente, aplicando o critério do termo geral:
limn to infty 3 n+25 n-3 = limn to infty 35 = 35 neq 0.
Como o limite não é zero, a série diverge.
Resposta: Verdadeiro. A série é divergente.

Passo 6

(e) A série é sumn=1^infty (-1)^n+1n. Usando o critério de Leibniz:
Para séries alternadas sum (-1)^n an, a série converge se:
  1. an é decrescente.
  2. limn to infty an = 0.
    Aqui, an = 1n, que é decrescente e tende a zero.
    Portanto, a série converge.
    Resposta: Falso. Podemos sim afirmar que a série converge pelo critério de Leibniz.

Resposta

As alternativas (a), (b) e © são falsas, a alternativa (d) é verdadeira e a alternativa (e) é falsa.

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