Considere as seguintes afirmaçōes.
(1) A sequência xn=1, forall n in N, é constante, limitada, não-decrescente e não-crescente.
(ii) A sequência xn=n, forall n in N, é não constante, limitada inferiormente, ilimitada superiormente e monótona crescente.
(iii) A sequência xn=1n, forall n in N, é monótona decrescente e limitada.
Nestas condiçēes, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
© (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
  • Resposta. A alternativa correta é a letra ©.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão traz três sequências e pede para a gente verificar se cada uma delas tem certas propriedades, como ser constante, limitada, monótona (crescente ou decrescente), entre outras. Para resolver isso, vamos analisar cada sequência individualmente, verificando cada uma das propriedades mencionadas.

Passo 2

Analisando a afirmação (I):
A sequência é dada por para todo .
  • Constante: Sim, porque todo termo da sequência é sempre 1. Não muda nunca.
  • Limitada: Sim, uma sequência constante é sempre limitada. Ela está limitada por 1 acima e por 1 abaixo.
  • Não-decrescente: Sim, porque não há nenhum termo que seja menor que o anterior. Como todos são iguais, ela é considerada não-decrescente.
  • Não-crescente: Também é verdade, pelo mesmo motivo. Não há nenhum termo maior que o anterior.
Então, a afirmativa (I) está verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (II):
A sequência é dada por para todo .
  • Não constante: Correto, porque os termos aumentam conforme aumenta.
  • Limitada inferiormente: Sim, está limitada abaixo por 1 (o primeiro termo), já que começa em 1.
  • Ilimitada superiormente: Sim, conforme cresce, os termos de também crescem sem limite.
  • Monótona crescente: Sim, cada termo é maior que o anterior.
Portanto, a afirmativa (II) também está verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (III):
A sequência é dada por para todo .
  • Monótona decrescente: Sim, conforme aumenta, diminui. Por exemplo, , , , e assim por diante.
  • Limitada: Sim, está limitada acima por 1 e limitadamente abaixo por 0, já que nunca será negativo e se aproxima de 0 conforme cresce.
Portanto, a afirmativa (III) também está verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a letra ©.

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