Em cada sentença abaixo, marque V quando for verdadeira e F quando for falsa.
Para esta questão, considere a0, an e bn os coeficientes da expansão em série de Fourier de uma funçăo f.
( ) A série de Fourier de uma funçăo impar f(x) será somente de senos.
( ) Desenvolvendo-se a funçäo periódica, com periodo T=2 pi, dada por f(x)=x^2,-pi, em série de Fourier, encontramos que bn=0.
( ) Sendo a função f definida no intervalo [-pi, pi] por f(x)=|x|, temos que a0=pi.
  • Resposta. Todas as atternativas sāo verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar três afirmações sobre séries de Fourier de uma função . O conteúdo principal aqui é Séries de Fourier, que estuda como funções periódicas podem ser representadas como somas de senos e cossenos. Para resolvermos isso, vamos precisar entender conceitos como funções pares e ímpares, coeficientes e , e como calcular esses coeficientes.

Passo 2

Primeira afirmação:
“( ) A série de Fourier de uma função ímpar será somente de senos.”
Vamos entender o que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se . Funções ímpares têm simetria em relação à origem. Nas séries de Fourier, funções ímpares são representadas apenas por termos de seno porque os senos são funções ímpares.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).

Passo 3

Segunda afirmação:
“( ) Desenvolvendo-se a função periódica, com período , dada por , para , em série de Fourier, encontramos que .”
Vamos analisar a função . Essa função é par porque . Nas séries de Fourier, funções pares só têm termos de cosseno e o termo (coeficiente dos senos) é zero.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).

Passo 4

Terceira afirmação:
“( ) Sendo a função a0 = 1pi integral-pi^pi |x| , dx definida no intervalo a0 = 2pi integral0^pi x , dx = 2pi [ x^22 ]0^pi = 2pi cdot pi^22 = pi por , temos que .”
Vamos calcular o coeficiente para a função :
Como é uma função par, podemos simplificar:
Então, .
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).

Resposta

Todas as alternativas são verdadeiras: V, V, V.

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