Em cada sentença abaixo, marque V quando for verdadeira e F quando for falsa.
Para esta questão, considere
e
os coeficientes da expansão em série de Fourier de uma funçăo f.
( ) A série de Fourier de uma funçăo impar
será somente de senos.
( ) Desenvolvendo-se a funçäo periódica, com periodo
, dada por
, em série de Fourier, encontramos que
.
( ) Sendo a função
definida no intervalo
por
, temos que
.
- Resposta. Todas as atternativas sāo verdadeiras.
Para esta questão, considere
( ) A série de Fourier de uma funçăo impar
( ) Desenvolvendo-se a funçäo periódica, com periodo
( ) Sendo a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar três afirmações sobre séries de Fourier de uma função
. O conteúdo principal aqui é Séries de Fourier, que estuda como funções periódicas podem ser representadas como somas de senos e cossenos. Para resolvermos isso, vamos precisar entender conceitos como funções pares e ímpares, coeficientes
e
, e como calcular esses coeficientes.
Passo 2
Primeira afirmação:
“( ) A série de Fourier de uma função ímparserá somente de senos.”
Vamos entender o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se
. Funções ímpares têm simetria em relação à origem. Nas séries de Fourier, funções ímpares são representadas apenas por termos de seno porque os senos são funções ímpares.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 3
Segunda afirmação:
“( ) Desenvolvendo-se a função periódica, com período, dada por , para , em série de Fourier, encontramos que .”
Vamos analisar a função
. Essa função é par porque
. Nas séries de Fourier, funções pares só têm termos de cosseno e o termo
(coeficiente dos senos) é zero.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 4
Terceira afirmação:
“( ) Sendo a funçãodefinida no intervalo por , temos que .”
Vamos calcular o coeficiente
para a função
:
Como
é uma função par, podemos simplificar:
Então,
.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Resposta
Todas as alternativas são verdadeiras: V, V, V.