Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
Se
converge, então
converge.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se “se
converge então
converge” é verdadeiro ou falso. Vamos usar conceitos de séries condicionais e p-séries para construir um contra-exemplo.
Passo 2
Escolhemos a sequência
. Essa escolha costuma dar séries que convergem condicionalmente mas cujos quadrados geram a série harmônica.
Passo 3
Aplicamos o teste de Leibniz para a série
.
Precisamos de duas coisas:
Precisamos de duas coisas:
-
é monótona decrescente para grande. -
Como as duas condições valem,converge.
Passo 4
Agora olhamos à série dos quadrados:
Essa é a série harmônica, que sabemos divergir porque é uma p-série com
.
Passo 5
Como encontramos uma série
convergente cuja série de quadrados diverge, o enunciado é falso e temos aí o contra-exemplo.
Resposta
Falsa