Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
Se sumn=1^infty an converge, então sumn=1^infty(an)^2 converge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se “se sumn=1^inftyan converge então sumn=1^infty(an)^2 converge” é verdadeiro ou falso. Vamos usar conceitos de séries condicionais e p-séries para construir um contra-exemplo.

Passo 2

Escolhemos a sequência an = (-1)^nraizn. Essa escolha costuma dar séries que convergem condicionalmente mas cujos quadrados geram a série harmônica.

Passo 3

Aplicamos o teste de Leibniz para a série sumn=1^inftyan = sumn=1^infty(-1)^nraizn.
Precisamos de duas coisas:
  1. bn = 1/raizn é monótona decrescente para n grande.
  2. limntoinfty1/raizn=0
    Como as duas condições valem, sum(-1)^n/raizn converge.

Passo 4

Agora olhamos à série dos quadrados:
sumn=1^infty(an)^2 = sumn=1^inftyl((-1)^nraiznr)^2 = sumn=1^infty1n
Essa é a série harmônica, que sabemos divergir porque é uma p-série com p=1.

Passo 5

Como encontramos uma série sum an convergente cuja série de quadrados diverge, o enunciado é falso e temos aí o contra-exemplo.

Resposta

Falsa

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