Integrais com raízes quadradas
Calcule as integrais dos exercícios 15-22.
integral0^pi raiz1-cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi raiz1-cos2x,dx. O conteúdo principal aqui é integração de funções com raiz quadrada envolvendo identidades trigonométricas, e vamos precisar usar a relação cos2x=1-2sin^2x.

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica para reescrever raiz1-cos2x. Observe que
1-cos2x = 2sin^2x,
então
raiz1-cos2x = raiz2sin^2x = raiz2,|sin x|

Passo 3

Agora levamos em conta que em xin[0,pi] temos sin x>=0, logo |sin x|=sin x. Assim a integral vira
integral0^pi raiz1-cos2x,dx = raiz2 integral0^pi sin x,dx

Passo 4

Para calcular integral0^pi sin x,dx, lembramos que uma primitiva de sin x é -cos x. Então
raiz2 integral0^pi sin x,dx = raiz2 l[-cos xr]0^pi = raiz2l(-cospi + cos0r) = raiz2l(-(-1)+1r) = 2raiz2

Resposta

2raiz2

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