Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule
x_{n}=n^{1 / n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n}=n^{1/n} e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, achar seu limite. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e usaremos a estratégia de aplicar logaritmo natural para transformar potência em produto, além da continuidade da função exponencial.

Passo 2

Definimos a sequência auxiliar
y_{n} = \ln(x_{n}) = \ln\bigl(n^{1/n}\bigr) = \frac{1}{n}\,\ln(n).
Sabemos que \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0, porque o logaritmo cresce muito mais devagar que a função linear em n. Logo,
\lim_{n\to\infty}y_{n}=0.

Passo 3

Como a função t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}, podemos passar ao limite dentro da exponencial:
\lim_{n\to\infty}x_{n} =\lim_{n\to\infty}e^{y_{n}} =e^{\lim_{n\to\infty}y_{n}} =e^{0} =1.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1.

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