Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule
x_{n}=\log (n) \cdot n^{1 / n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n} = \log(n)\,\cdot\,n^{1/n}
e pede para verificar se ela possui limite quando n\to\infty e, em caso afirmativo, calculá-lo. O conteúdo envolve estudo de sequência real e cálculos de limite.

Passo 2

Vamos examinar primeiro o fator n^{1/n}. Reescrevendo em termos da exponencial, temos
n^{1/n} = \exp\!\bigl(\tfrac{\log(n)}{n}\bigr).
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n} = 0,
segue que
\lim_{n\to\infty}n^{1/n} = \exp(0) = 1.

Passo 3

Sabendo que n^{1/n}\to1, examinamos
x_{n} = \log(n)\,\cdot\,n^{1/n}.
Como o segundo fator tende a 1, o comportamento de x_{n} é dominado por \log(n). E sabemos que
\lim_{n\to\infty}\log(n) = +\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty}x_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl[\log(n)\cdot n^{1/n}\bigr] = \lim_{n\to\infty}\log(n) = +\infty.

Resposta

A sequência diverge para +\infty; não há limite finito.

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