Calcule
(a) \int\left(e^{-x}+\operatorname{sen}(6 x)+\frac{2}{x^{5}}\right) d x
(b) \int\left(\sqrt[7]{x^{3}}+\operatorname{sen} \frac{x}{5}\right) d x
(c) \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} d t
(d) \int 13^{x} \pi^{x} d x
(e) \int_{0}^{2} x^{3} \sqrt{2+3 x^{4}} d x
(f) \int_{-\pi / 3}^{\pi / 4}(7+\operatorname{sen} 5 x)^{2} d x
(g!) \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos x} d x
(h) \int \operatorname{sec} x d x
(i) \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \operatorname{sen} 6 x \cos 3 x d x
(j) \int \cos 4 x \cos 2 x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais, algumas indefinidas e outras definidas. Vamos usar as regras básicas de integração: linearidade, regra da potência, substituição simples, identidades trigonométricas, e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Calcular \displaystyle\int\bigl(e^{-x}+\sin(6x)+\tfrac{2}{x^{5}}\bigr)\,dx.
A integral distribui-se em três termos:
Calcular \displaystyle\int 13^{x}\,\pi^{x}\,dx.
Note que 13^{x}\pi^{x}=(13\pi)^{x} e
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} + C.
Aqui a=13\pi, logo
\int 13^{x}\pi^{x}\,dx = \int(13\pi)^{x}\,dx = \frac{(13\pi)^{x}}{\ln(13\pi)} + C.
Passo 6
Calcular \displaystyle\int_{0}^{2} x^{3}\sqrt{2+3x^{4}}\,dx.
Use u=2+3x^{4}\implies du=12x^{3}dx\implies x^{3}dx=\tfrac{du}{12}.
Quando x=0, u=2; quando x=2, u=2+3\cdot16=50.