Calcule
(a)
\int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x
(b) \int_{0}^{x} \operatorname{sen}^{5} t \cos t d t
(c) \int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(d) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{3+2 \operatorname{tg} x} d x
(e) \int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t
(f) \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x
(g) \int \frac{1}{x \ln x} d x
(h) \int \frac{1}{x} \cos (\ln x) d x
(i) \int x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(j) \int \operatorname{arcsen}(x) d x

Passo 1

Temos dez integrais para calcular, misturando integrais indefinidas e definidas. O conteúdo principal é substituição simples e, em alguns casos, integração por partes. Usaremos:
– Substituição u=g(x) quando aparecer g'(x) multiplicando algum f(g(x)).
– Para funções trigonométricas como \tan x e \operatorname{sec}^2 x, faremos substituições análogas.
– Para integrais do tipo \int1/(a^2+x^2)\,dx recoreremos à fórmula da arctangente.
– Para \int1/(x\ln x)\,dx usaremos u=\ln x.
– Para \int x\operatorname{sec}^2 x\,dx e \int\arcsin x\,dx aplicaremos integração por partes.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx.
Fazemos u=x^{4}, logo du=4x^{3}\,dx, então x^{3}\,dx=\tfrac{1}{4}du. A integral vira
\int x^{3}\cos(x^{4})\,dx =\int \cos(u)\,\frac{du}{4} =\tfrac{1}{4}\int \cos(u)\,du =\tfrac{1}{4}\sin(u)+C =\tfrac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr)+C.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{x}\operatorname{sen}^{5}t\cos t\,dt.
Fazemos u=\operatorname{sen} t, então du=\cos t\,dt. Os limites vão de t=0 u=\sen0=0 até t=x u=\operatorname{sen} x. Obtém-se
\int_{0}^{x}\operatorname{sen}^{5}t\cos t\,dt =\int_{0}^{\operatorname{sen} x}u^{5}\,du =\Bigl[\tfrac{u^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{\operatorname{sen} x} =\frac{\operatorname{sen}^{6}x}{6}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \operatorname{tg} x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Use u=\operatorname{tg} x, logo du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Assim
\int \operatorname{tg} x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\int u\,du =\tfrac{u^{2}}{2}+C =\frac{\operatorname{tg}^{2}x}{2}+C.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\operatorname{tg} x}\,dx.
Seja u=3+2\operatorname{tg} x, então du=2\operatorname{sec}^{2}x\,dx e \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Logo
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\operatorname{tg} x}\,dx =\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr|+C =\frac{1}{2}\ln\bigl|3+2\operatorname{tg} x\bigr|+C.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{1/2}^{x}\Bigl(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt.
Integramos cada termo:
\int \frac{5}{t-1}\,dt=5\ln\bigl|t-1\bigr|,\quad \int \frac{2}{t}\,dt=2\ln|t|.
Logo o valor definido é
\Bigl[5\ln|t-1|+2\ln|t|\Bigr]_{t=1/2}^{t=x} =5\ln|x-1|+2\ln|x| -\bigl(5\ln|{-\tfrac12}|+2\ln\tfrac12\bigr).
Como \ln|{-\tfrac12}|=\ln\tfrac12=-\ln2, o termo subtraído vale -7\ln2. Assim o resultado é
5\ln|x-1|+2\ln|x|+7\ln2.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx.
Usamos a fórmula padrão
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx =\frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)+C.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Ponha u=\ln x, então du=\frac{1}{x}dx. Fica
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx =\int \frac{1}{u}\,du =\ln\bigl|u\bigr|+C =\ln\bigl|\ln x\bigr|+C.

Passo 9

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx.
De novo u=\ln x, du=\tfrac{1}{x}dx. Assim
\int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx =\int \cos(u)\,du =\sin(u)+C =\sin\bigl(\ln x\bigr)+C.

Passo 10

Calcular \displaystyle \int x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Integração por partes: seja u=x, dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Então du=dx, v=\tan x.
\int x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx =x\tan x-\int\tan x\,dx =x\tan x-(-\ln|\cos x|)+C =x\tan x+\ln\bigl|\cos x\bigr|+C.

Passo 11

Calcular \displaystyle \int \operatorname{arcsen}(x)\,dx.
Partes: tome u=\operatorname{arcsen} x, dv=dx. Então du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}, v=x.
\int \operatorname{arcsen}(x)\,dx =x\,\operatorname{arcsen}(x)-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Para a segunda integral faça w=1-x^{2}, dw=-2x\,dx, vem \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw =-\sqrt{w}+C =-\sqrt{1-x^{2}}+C.
Portanto
\int \operatorname{arcsen}(x)\,dx =x\,\operatorname{arcsen}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr)+C
(b) \displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{6}x}{6}
(c) \displaystyle \frac{\operatorname{tg}^{2}x}{2}+C
(d) \displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl|3+2\operatorname{tg} x\bigr|+C
(e) \displaystyle 5\ln|x-1|+2\ln|x|+7\ln2
(f) \displaystyle \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)+C
(g) \displaystyle \ln\bigl|\ln x\bigr|+C
(h) \displaystyle \sin\bigl(\ln x\bigr)+C
(i) \displaystyle x\tan x+\ln\bigl|\cos x\bigr|+C
(j) \displaystyle x\,\operatorname{arcsen}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C

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