Para cada sequência verifique se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. E mais, determine quais são limitadas e quais convergem? a_{n}=\frac{1}{\pi^{n}}.
Passo 1
O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{1}{\pi^{n}}. Vou considerar que n varia nos naturais \mathbb{N} começando em 1 (se começasse em 0 a única diferença seria o valor de a_{0}, mas as propriedades essenciais permanecem). As perguntas são:
A sequência é crescente, decrescente ou não-monótona?
A sequência é limitada?
A sequência converge? Se sim, qual é o limite?
Informações relevantes que já temos:
\pi é uma constante real com \pi\approx3{,}1415 e, portanto, \pi>1.
Cada termo é dado por \displaystyle a_{n}=\pi^{-n}.
Passo 2
Definição e estratégia para testar monotonicidade.
Uma sequência \{a_n\} é estritamente crescente se a_{n+1}>a_n para todo n.
É estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n para todo n.
Vou comparar a_{n+1} com a_n.
Aqui expliquei cada símbolo: a_n é o n-ésimo termo; \pi é a constante. A igualdade mostra que o termo seguinte é exatamente o termo atual multiplicado por \dfrac{1}{\pi}.
Passo 3
Conclusão sobre monotonicidade usando o fator \dfrac{1}{\pi}.
Sabendo que \pi>1, temos \dfrac{1}{\pi}\in(0,1).
Como a_n>0 para todo n (pois é uma potência positiva), multiplicar a_n por um número estritamente entre 0 e 1 dá um número estritamente menor:
a_{n+1}=\frac{1}{\pi}a_n < a_n.
Isso vale para todo n. Portanto a sequência é estritamente decrescente (ou seja, decrescente).
Passo 4
Verificação de limitada.
Limite inferior: todos os termos são positivos, então a_n>0 para todo n. Logo 0 é uma cota inferior. Dito de outro modo,
0 < a_n \quad\text{para todo }n.
Limite superior: por ser decrescente, o maior termo é o primeiro (assumindo n\ge1), então a_n \le a_1 para todo n. Como
a_1=\frac{1}{\pi},
uma cota superior é \dfrac{1}{\pi}. Assim
0 < a_n \le \frac{1}{\pi}\quad\text{para todo }n.
Conclusão: a sequência é limitada (está limitada superior e inferiormente).
Passo 5
Convergência e cálculo do limite.
Duas maneiras de ver que converge para 0:
Pelo teste da razão fixa: como a_{n+1}=\dfrac{1}{\pi}a_n com \left|\dfrac{1}{\pi}\right|<1, trata-se de uma sequência geométrica com razão r=\dfrac{1}{\pi} e, para |r|<1, tem-se \lim_{n\to\infty} r^{n}=0. Logo
Pelo teorema da sequência monotônica: a sequência é decrescente e está limitada inferiormente por 0; pelo teorema do limite de sequências monotônicas, ela converge a algum limite L\ge0. Tomando limite na relação a_{n+1}=\dfrac{1}{\pi}a_n e usando continuidade, obtém-se L=\dfrac{1}{\pi}L, o que implica L(1-\tfrac{1}{\pi})=0. Como 1-\tfrac{1}{\pi}\neq0, segue L=0.
Ambas as abordagens dão o mesmo resultado: o limite é 0.
Passo 6
Ilustração numérica rápida (para intuição)
a_1=\dfrac{1}{\pi}\approx0{,}3183.
a_2=\dfrac{1}{\pi^{2}}\approx0{,}1013.
a_3\approx0{,}0322.
Isso mostra que os termos caem rapidamente para 0.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente.
A sequência é limitada: 0<a_n\le\frac{1}{\pi} para todo n.
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.