Calcule
se
é a região limitada pelas superfícies
com
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
onde
é a região entre as esferas
e
com
.
Informações relevantes fornecidas:
- A região
é a casca esférica com raio interior e raio exterior . - O integrando é
. - Os parâmetros
e satisfazem .
Passo 2
Razão para trocar de coordenadas: o integrando e a região dependem apenas de
. Nesses casos é muito mais prático usar coordenadas esféricas porque a simetria radial simplifica a integral — o integrando ficará função só de
. Não precisa tentar métodos mais complicados.
Passo 3
Definição de coordenadas esféricas e elemento de volume (aula rápida, bem mastigada):
- Em coordenadas esféricas usa-se
, (ângulo polar, medido a partir do eixo ) e (ângulo azimutal no plano ). - As relações com
são
- O elemento de volume em esféricas é
Explicação do jacobiano: o fator
vem da transformação de coordenadas — pense em pequenos volumes como produto de comprimentos
, arcos
e
.
Passo 4
Reescrever o integrando em termos de
:
- Nota que
e . - Então o integrando vira
. - Multiplicando pelo elemento de volume:
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites apropriados:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Portanto
Passo 6
Separar a integral angular da radial (porque a integranda é produto de função de
por
, e os limites angulares não dependem de
):
Calcular cada parte angular:
Produto angular total
.
Logo a integral fica
Passo 7
Calcular a integral radial
com a substituição clássico
:
- Tome
. Então , isto é . - Reescreva
. - Os limites em
são quando e quando .
Portanto
Passo 8
Resolver
por partes (ou lembrar primitiva):
- Fazendo integração por partes: tomar
e dá
Logo
Avaliar os limites:
Passo 9
Multiplicar pelo fator angular
obtido no Passo 6:
Comentário curto e motivador: faz sentido que o resultado seja positivo, já que integrando uma função positiva sobre uma região de volume positivo dá número positivo. Como
e
, o parêntese é positivo.