Calcule \iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} d x d y d z se D é a região limitada pelas superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2} com 0<b<a.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}\,dx\,dy\,dz,
onde D é a região entre as esferas \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\; e \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}\; com 0<b<a.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região D é a casca esférica com raio interior b e raio exterior a.
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}.
  • Os parâmetros a e b satisfazem 0<b<a.

Passo 2

Razão para trocar de coordenadas: o integrando e a região dependem apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}. Nesses casos é muito mais prático usar coordenadas esféricas porque a simetria radial simplifica a integral — o integrando ficará função só de r. Não precisa tentar métodos mais complicados.

Passo 3

Definição de coordenadas esféricas e elemento de volume (aula rápida, bem mastigada):
  • Em coordenadas esféricas usa-se \;r\ge0, \;0\le\theta\le\pi (ângulo polar, medido a partir do eixo z) e \;0\le\varphi<2\pi (ângulo azimutal no plano xy).
  • As relações com x,y,z são
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
  • O elemento de volume em esféricas é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Explicação do jacobiano: o fator r^{2}\sin\theta vem da transformação de coordenadas — pense em pequenos volumes como produto de comprimentos (dr), arcos (r\,d\theta) e (r\sin\theta\,d\varphi).

Passo 4

Reescrever o integrando em termos de r,\theta,\varphi:
  • Nota que \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = r e \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.
  • Então o integrando vira r \, e^{-r^{2}}.
  • Multiplicando pelo elemento de volume:
\text{integrando total} = r\,e^{-r^{2}}\cdot r^{2}\sin\theta = r^{3} e^{-r^{2}}\sin\theta.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites apropriados:
  • r varia de b a a,
  • \theta varia de 0 a \pi,
  • \varphi varia de 0 a 2\pi.
    Portanto
\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{b}^{a} r^{3} e^{-r^{2}}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 6

Separar a integral angular da radial (porque a integranda é produto de função de r por \sin\theta, e os limites angulares não dependem de r):
\int_{0}^{2\pi}d\varphi \cdot \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \cdot \int_{b}^{a} r^{3} e^{-r^{2}}\,dr.
Calcular cada parte angular:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (1) - (-1) = 2.
Produto angular total = 2\pi\cdot 2 = 4\pi.
Logo a integral fica
4\pi \int_{b}^{a} r^{3} e^{-r^{2}}\,dr.

Passo 7

Calcular a integral radial \displaystyle \int_{b}^{a} r^{3} e^{-r^{2}}\,dr com a substituição clássico u=r^{2}:
  • Tome u = r^{2}. Então du = 2r\,dr, isto é r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du.
  • Reescreva r^{3}dr = r^{2}\cdot r\,dr = u\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2} u\,du.
  • Os limites em u são u=b^{2} quando r=b e u=a^{2} quando r=a.
    Portanto
\int_{b}^{a} r^{3} e^{-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\int_{b^{2}}^{a^{2}} u\,e^{-u}\,du.

Passo 8

Resolver \displaystyle \int u\,e^{-u}\,du por partes (ou lembrar primitiva):
  • Fazendo integração por partes: tomar v=u e dw=e^{-u}du
\int u e^{-u}\,du = -u e^{-u} - e^{-u} + C = -(u+1)e^{-u} + C.
Logo
\frac{1}{2}\int_{b^{2}}^{a^{2}} u\,e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-(u+1)e^{-u}\Bigr]_{u=b^{2}}^{u=a^{2}}.
Avaliar os limites:
\frac{1}{2}\Bigl[-(a^{2}+1)e^{-a^{2}} + (b^{2}+1)e^{-b^{2}}\Bigr] = \frac{1}{2}\bigl((b^{2}+1)e^{-b^{2}} - (a^{2}+1)e^{-a^{2}}\bigr).

Passo 9

Multiplicar pelo fator angular 4\pi obtido no Passo 6:
4\pi \cdot \frac{1}{2}\bigl((b^{2}+1)e^{-b^{2}} - (a^{2}+1)e^{-a^{2}}\bigr) = 2\pi\bigl((b^{2}+1)e^{-b^{2}} - (a^{2}+1)e^{-a^{2}}\bigr).
Comentário curto e motivador: faz sentido que o resultado seja positivo, já que integrando uma função positiva sobre uma região de volume positivo dá número positivo. Como e^{-b^{2}}>e^{-a^{2}} e b^{2}<a^{2}, o parêntese é positivo.

Resposta

2\pi\bigl((b^{2}+1)e^{-b^{2}} - (a^{2}+1)e^{-a^{2}}\bigr)

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