Encontre uma fórmula para o termo geral a_{n} da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continua.
(14,11,8,5, \ldots).

Passo 1

O enunciado dá os primeiros termos da sequência e pede uma fórmula para o termo geral, assumindo que o padrão continue. Informações fornecidas:
  • Os termos dados são 14,\;11,\;8,\;5,\;\ldots.
  • O que se pede: encontrar uma expressão que permita calcular a_{n} para qualquer inteiro n\ge 1.

Passo 2

Observar o padrão entre termos consecutivos calculando as diferenças:
  • 11-14 = -3,
  • 8-11 = -3,
  • 5-8 = -3.
Todas as diferenças entre termos consecutivos são iguais a -3. Isso nos diz que o incremento constante entre termos é d=-3.

Passo 3

Explicar a fórmula geral usada (aula rápida e direta).
  • Uma sequência com diferença constante entre termos é chamada de progressão aritmética.
  • Se a_1 é o primeiro termo e d é a diferença comum, então os primeiros termos são:
    • a_1 (primeiro termo),
    • a_2 = a_1 + d,
    • a_3 = a_1 + 2d,
    • e assim por diante.
  • Por padrão, o enésimo termo dessa progressão é
a_{n} = a_{1} + (n-1)\,d.
Aqui:
  • a_{n} é o termo de índice n,
  • a_{1} é o primeiro termo da sequência,
  • d é a diferença comum (incremento entre termos),
  • n é um inteiro positivo ( n\ge 1).

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso substituindo os valores que pegamos dos termos:
  • a_{1}=14 (peguei do primeiro termo dado),
  • d=-3 (concluí no Passo 2).
Substituindo em \displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d, obtemos
a_{n}=14+(n-1)(-3)=14-3(n-1).

Passo 5

Simplificar a expressão e verificar com termos conhecidos:
  • Expandindo: 14-3(n-1)=14-3n+3=17-3n.
  • Assim uma forma simples é \displaystyle a_{n}=17-3n.
Verificação rápida com termos dados:
  • Para n=1: a_{1}=17-3\cdot1=14 (confere).
  • Para n=2: a_{2}=17-3\cdot2=11 (confere).
  • Para n=4: a_{4}=17-3\cdot4=5 (confere).
Segue um incentivo: com essa fórmula dá para calcular qualquer termo rápido na prova — por exemplo a_{5}=17-3\cdot5=2.

Resposta

\displaystyle a_{n}=17-3n

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