Considere S a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16 a^{2} com a \leq z \leq 2 a e x, y>0. Determine a massa de S se a densidade em cada ponto da esfera é \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}.
Passo 1
O enunciado dá uma região S e pede a massa dessa região quando a densidade volumétrica é \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
Informações fornecidas:
A região S é a parte do sólido definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16a^{2} sujeita às restrições a\leq z\leq 2a e x>0,\;y>0.
A densidade volumétrica no ponto (x,y,z) é \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
Escolha de coordenadas e expressão do integrando. Vou usar coordenadas esféricas porque a região está contida numa bola centrada na origem e a densidade (x^{2}+y^{2}) fica simples em esféricas.
Há ainda uma restrição na validade desses intervalos: é necessário que \dfrac{a}{\cos\varphi}\leq 4a, i.e. \cos\varphi\geq \dfrac{1}{4}. Logo \varphi atinge no máximo \phi_{1}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{4}\right).
Para comparar \dfrac{2a}{\cos\varphi} com 4a: \dfrac{2a}{\cos\varphi}\le 4a quando \cos\varphi\ge \dfrac{1}{2}, isto é para 0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{3}. Portanto devemos dividir a integração em dois intervalos de \varphi:
Para 0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{3}: r varia de \dfrac{a}{\cos\varphi} até \dfrac{2a}{\cos\varphi}.
Para \dfrac{\pi}{3}\le\varphi\le \phi_{1}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{4}\right): r varia de \dfrac{a}{\cos\varphi} até 4a.
Also \varphi fica no intervalo 0\le\varphi\le\phi_{1} porque para \varphi>\phi_{1} não existe r\le 4a satisfazendo r\ge a/\cos\varphi.
Integrar em \varphi os dois trechos. Para a integração aparecem duas formas úteis:
Substituição u=\tan\varphi para integrar termos do tipo \tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi, pois du=\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi e então
Como \cos\phi_{1}=\dfrac{1}{4} implica \sin\phi_{1}=\dfrac{\sqrt{15}}{4} e \tan\phi_{1}=\sqrt{15}, temos \tan^{4}\phi_{1}=15^{2}=225. E \tan^{4}\!\tfrac{\pi}{3}=9. Logo