Considere S a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16 a^{2} com a \leq z \leq 2 a e x, y>0. Determine a massa de S se a densidade em cada ponto da esfera é \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma região S e pede a massa dessa região quando a densidade volumétrica é \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
Informações fornecidas:
  • A região S é a parte do sólido definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16a^{2} sujeita às restrições a\leq z\leq 2a e x>0,\;y>0.
  • A densidade volumétrica no ponto (x,y,z) é \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
O que se pede:
  • Determinar a massa de S, ou seja, calcular
M=\iiint_{S} \rho(x,y,z)\,dV = \iiint_{S} (x^{2}+y^{2})\,dV.

Passo 2

Escolha de coordenadas e expressão do integrando. Vou usar coordenadas esféricas porque a região está contida numa bola centrada na origem e a densidade (x^{2}+y^{2}) fica simples em esféricas.
Definições (em notação usada aqui):
  • Coordenadas esféricas: x=r\sin\varphi\cos\theta,\; y=r\sin\varphi\sin\theta,\; z=r\cos\varphi.
  • O jacobiano (elemento de volume) é dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • A densidade fica
\rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2} = r^{2}\sin^{2}\varphi.
  • Assim o integrando volumétrico é
\rho\,dV = \bigl(r^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)\bigl(r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\bigr) = r^{4}\sin^{3}\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites das três variáveis r,\varphi,\theta a partir das condições da região.
  • A condição x>0,\\ y>0 corresponde a \theta variando no primeiro quadrante:
0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.
  • A condição a\leq z\leq 2a em esféricas é
a \leq r\cos\varphi \leq 2a.
Isto implica, para um dado \varphi com \cos\varphi>0, que
\frac{a}{\cos\varphi} \le r \le \frac{2a}{\cos\varphi},
porém sempre temos a restrição do interior da bola r\le 4a. Portanto, para cada \varphi o intervalo de r é
r\in\left[\frac{a}{\cos\varphi},\\ \min\!\Bigl(\frac{2a}{\cos\varphi},\\\ 4a\Bigr)\right].
  • Há ainda uma restrição na validade desses intervalos: é necessário que \dfrac{a}{\cos\varphi}\leq 4a, i.e. \cos\varphi\geq \dfrac{1}{4}. Logo \varphi atinge no máximo \phi_{1}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{4}\right).
  • Para comparar \dfrac{2a}{\cos\varphi} com 4a: \dfrac{2a}{\cos\varphi}\le 4a quando \cos\varphi\ge \dfrac{1}{2}, isto é para 0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{3}. Portanto devemos dividir a integração em dois intervalos de \varphi:
  1. Para 0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{3}: r varia de \dfrac{a}{\cos\varphi} até \dfrac{2a}{\cos\varphi}.
  2. Para \dfrac{\pi}{3}\le\varphi\le \phi_{1}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{4}\right): r varia de \dfrac{a}{\cos\varphi} até 4a.
Also \varphi fica no intervalo 0\le\varphi\le\phi_{1} porque para \varphi>\phi_{1} não existe r\le 4a satisfazendo r\ge a/\cos\varphi.
Resumindo os limites:
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\quad \begin{cases} 0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{3}, & r\in\left[\dfrac{a}{\cos\varphi},\\ \dfrac{2a}{\cos\varphi}\right],\\[6pt] \dfrac{\pi}{3}\le\varphi\le \phi_{1}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{4}\right), & r\in\left[\dfrac{a}{\cos\varphi},\\\ 4a\right]. \end{cases}]

Passo 4

Escrever a integral tripla para a massa aplicando os limites e integrar primeiro em r.
A massa é
M=\int_{0}^{\pi/2}\!\!\left[\int_{0}^{\pi/3}\!\!\left(\int_{r=a/\cos\varphi}^{r=2a/\cos\varphi} r^{4}\sin^{3}\varphi\,dr\right)d\varphi +\int_{\pi/3}^{\phi_{1}}\!\!\left(\int_{r=a/\cos\varphi}^{r=4a} r^{4}\sin^{3}\varphi\,dr\right)d\varphi\right]d\theta.
Calculo da integral em r:
\int r^{4}\,dr = \frac{r^{5}}{5}.
Portanto, para o primeiro trecho ( 0\le\varphi\le\pi/3):
\int_{a/\cos\varphi}^{2a/\cos\varphi} r^{4}\,dr = \frac{1}{5}\left[\left(\frac{2a}{\cos\varphi}\right)^{5} - \left(\frac{a}{\cos\varphi}\right)^{5}\right] = \frac{a^{5}}{5}\cdot\frac{2^{5}-1}{\cos^{5}\varphi} = \frac{31}{5}\,\frac{a^{5}}{\cos^{5}\varphi}.
Multiplicando por \sin^{3}\varphi obtém-se o integrando em \varphi:
\frac{31}{5}a^{5}\,\frac{\sin^{3}\varphi}{\cos^{5}\varphi} = \frac{31}{5}a^{5}\,\tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi,
pois \dfrac{\sin^{3}\varphi}{\cos^{5}\varphi}=\tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi.
Para o segundo trecho \pi/3\le\varphi\le\phi_{1}:
\int_{a/\cos\varphi}^{4a} r^{4}\,dr = \frac{1}{5}\Bigl((4a)^{5} - \bigl(\tfrac{a}{\cos\varphi}\bigr)^{5}\Bigr) = \frac{a^{5}}{5}\Bigl(1024 - \frac{1}{\cos^{5}\varphi}\Bigr).
Multiplicando por \sin^{3}\varphi obtemos
\frac{a^{5}}{5}\Bigl(1024\sin^{3}\varphi - \frac{\sin^{3}\varphi}{\cos^{5}\varphi}\Bigr) = \frac{a^{5}}{5}\Bigl(1024\sin^{3}\varphi - \tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\Bigr).

Passo 5

Integrar em \varphi os dois trechos. Para a integração aparecem duas formas úteis:
  • Substituição u=\tan\varphi para integrar termos do tipo \tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi, pois du=\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi e então
\int \tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi = \int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} = \frac{\tan^{4}\varphi}{4}.
  • Para \sin^{3}\varphi usar \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi) e fazer v=\cos\varphi, pois dv=-\sin\varphi\,d\varphi. Assim
\int \sin^{3}\varphi\,d\varphi = \int \sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi)\,d\varphi = -\int (1-v^{2})\,dv = -v+\frac{v^{3}}{3} = -\cos\varphi + \frac{\cos^{3}\varphi}{3}.
Calculemos os dois integrados numéricos.
Trecho 1 ( 0 a \pi/3):
I_{1}=\int_{0}^{\pi/3} \frac{31}{5}a^{5}\,\tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{31}{5}a^{5}\left[\frac{\tan^{4}\varphi}{4}\right]_{0}^{\pi/3} = \frac{31}{20}a^{5}\tan^{4}\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Como \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}, tem \tan^{4}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=9. Logo
I_{1}=\frac{31}{20}\cdot 9\,a^{5}=\frac{279}{20}a^{5}.
Trecho 2 ( \pi/3 a \phi_{1}=\operatorname{arccos}(1/4)):
I_{2}=\int_{\pi/3}^{\phi_{1}} \frac{a^{5}}{5}\Bigl(1024\sin^{3}\varphi - \tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\Bigr)d\varphi.
Separando:
I_{2}=\frac{a^{5}}{5}\left(1024\int_{\pi/3}^{\phi_{1}}\sin^{3}\varphi\,d\varphi -\int_{\pi/3}^{\phi_{1}}\tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi\right).
Calcule cada integral:
  • Para \sin^{3}\varphi:
\int_{\pi/3}^{\phi_{1}}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = \Bigl[-\cos\varphi+\frac{\cos^{3}\varphi}{3}\Bigr]_{\pi/3}^{\phi_{1}}.
Usando \cos\phi_{1}=\dfrac{1}{4} (definição de \phi_{1}) e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, obtemos
\Bigl(-\tfrac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{64}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{192}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{24}\Bigr) = \frac{41}{192}.
  • Para \tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi:
\int_{\pi/3}^{\phi_{1}}\tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi = \left[\frac{\tan^{4}\varphi}{4}\right]_{\pi/3}^{\phi_{1}} = \frac{1}{4}\bigl(\tan^{4}\phi_{1} - \tan^{4}\!\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Como \cos\phi_{1}=\dfrac{1}{4} implica \sin\phi_{1}=\dfrac{\sqrt{15}}{4} e \tan\phi_{1}=\sqrt{15}, temos \tan^{4}\phi_{1}=15^{2}=225. E \tan^{4}\!\tfrac{\pi}{3}=9. Logo
\int_{\pi/3}^{\phi_{1}}\tan^{3}\varphi\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{225-9}{4}=\frac{216}{4}=54.
Substituindo em I_{2}:
I_{2}=\frac{a^{5}}{5}\Bigl(1024\cdot\frac{41}{192} - 54\Bigr).
Calcule 1024\cdot\frac{41}{192} = \frac{1024}{192}\cdot 41 = \frac{16}{3}\cdot 41 = \frac{656}{3}. Então
I_{2}=\frac{a^{5}}{5}\Bigl(\frac{656}{3}-54\Bigr) = \frac{a^{5}}{5}\cdot\frac{494}{3} = \frac{494}{15}a^{5}.

Passo 6

Somar os dois trechos em \varphi e integrar em \theta.
A integral em \varphi (para cada \theta) é
I_{1}+I_{2} = \frac{279}{20}a^{5} + \frac{494}{15}a^{5}.
Colocando em denominador comum 60:
\frac{279}{20} = \frac{837}{60},\qquad \frac{494}{15}=\frac{1976}{60},
então
I_{1}+I_{2} = \frac{837+1976}{60}a^{5} = \frac{2813}{60}a^{5}.
Agora integrar em \theta sobre 0\le\theta\le \dfrac{\pi}{2} apenas multiplica por \dfrac{\pi}{2}. Portanto a massa total é
M = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2813}{60}a^{5} = \frac{2813\pi\,a^{5}}{120}.

Resposta

\dfrac{2813\pi\,a^{5}}{120}

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