Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
5,11,23,47, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá a sequência dos primeiros termos:
5,\;11,\;23,\;47,\;\ldots
O que é pedido:
  • determinar o número que segue (o quinto termo);
  • encontrar o termo geral da sequência (uma fórmula para a_n).

Passo 2

Vamos investigar padrões entre termos consecutivos para ver se há uma regra simples. Calculemos os resultados óbvios:
2\cdot 5 + 1 = 11,\qquad 2\cdot 11 + 1 = 23,\qquad 2\cdot 23 + 1 = 47.
Ou seja, cada termo parece ser obtido dobrando o anterior e somando 1. Isso sugere a relação de recorrência
a_{n+1}=2a_n+1,
com condição inicial
a_1=5.

Passo 3

Agora vou transformar essa recorrência numa forma fechada (termo geral) de maneira didática. Uma técnica prática é deslocar a constante somada para tornar a sequência geométrica. Defina a sequência auxiliar
b_n = a_n + 1.
Vamos ver como b_n evolui:
b_{n+1} = a_{n+1}+1 = (2a_n+1)+1 = 2a_n+2 = 2(a_n+1) = 2b_n.
Portanto b_n é uma sequência geométrica com razão 2.

Passo 4

Para uma sequência geométrica com razão r e primeiro termo b_1, tem-se
b_n = b_1\cdot r^{\,n-1}.
Aqui r=2 e b_1=a_1+1=5+1=6. Logo
b_n = 6\cdot 2^{\,n-1}.
Voltando para a_n (lembrando que a_n=b_n-1):
a_n = 6\cdot 2^{\,n-1}-1.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão anterior para uma forma mais compacta. Observe que 6\cdot 2^{\,n-1}=3\cdot 2^{\,n}. Assim:
a_n = 3\cdot 2^{\,n}-1.
Aqui n é o índice do termo (por exemplo n=1 dá o primeiro termo), 2^{\,n} é a potência de 2 e o coeficiente 3 vem da simplificação acima.

Passo 6

Pequena verificação por indução (para fixar a ideia): para n=1,
a_1 = 3\cdot 2^{1}-1 = 6-1 = 5,
correto. Suponha que a_n=3\cdot 2^{n}-1. Então
a_{n+1}=2a_n+1=2(3\cdot 2^{n}-1)+1=6\cdot 2^{n}-2+1=3\cdot 2^{n+1}-1,
o que confirma que a fórmula vale para n+1. Assim a fórmula fechada está provada.

Passo 7

Agora calculamos o próximo termo (o quinto) usando a recorrência ou a fórmula fechada. Pela recorrência:
a_5 = 2\cdot 47 + 1 = 94+1 = 95.
Pela fórmula:
a_5 = 3\cdot 2^{5}-1 = 3\cdot 32 -1 = 96-1 = 95,
mesmo resultado — ótimo.

Resposta

95
a_n = 3\cdot 2^{\,n} - 1

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