Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência dos primeiros termos:
O que é pedido:
- determinar o número que segue (o quinto termo);
- encontrar o termo geral da sequência (uma fórmula para
).
Passo 2
Vamos investigar padrões entre termos consecutivos para ver se há uma regra simples. Calculemos os resultados óbvios:
Ou seja, cada termo parece ser obtido dobrando o anterior e somando
. Isso sugere a relação de recorrência
com condição inicial
Passo 3
Agora vou transformar essa recorrência numa forma fechada (termo geral) de maneira didática. Uma técnica prática é deslocar a constante somada para tornar a sequência geométrica. Defina a sequência auxiliar
Vamos ver como
evolui:
Portanto
é uma sequência geométrica com razão
.
Passo 4
Para uma sequência geométrica com razão
e primeiro termo
, tem-se
Aqui
e
. Logo
Voltando para
(lembrando que
):
Passo 5
Podemos simplificar a expressão anterior para uma forma mais compacta. Observe que
. Assim:
Aqui
é o índice do termo (por exemplo
dá o primeiro termo),
é a potência de
e o coeficiente
vem da simplificação acima.
Passo 6
Pequena verificação por indução (para fixar a ideia): para
,
correto. Suponha que
. Então
o que confirma que a fórmula vale para
. Assim a fórmula fechada está provada.
Passo 7
Agora calculamos o próximo termo (o quinto) usando a recorrência ou a fórmula fechada. Pela recorrência:
Pela fórmula:
mesmo resultado — ótimo.