Determine quais das sequências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-as em crescente, decrescente ou constante.
(1,4,7,10, \ldots)

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique se a sequência \,(1,4,7,10,\ldots)\, é uma PA. Se for PA, devemos determinar a razão e classificá‑la como crescente, decrescente ou constante.
Informações fornecidas: os primeiros termos da sequência são \;a_1=1,\\ a_2=4,\\ a_3=7,\\ a_4=10,\ldots.

Passo 2

O que é uma PA (progressão aritmética) e como reconhecê‑la.
  • Uma sequência \,(a_n)_{n\ge1}\, é uma PA se a diferença entre termos consecutivos for sempre a mesma. Essa diferença constante chamamos de razão e denotamos por r. Formalmente, a sequência é PA quando vale
a_{n+1}-a_n = r\quad\text{para todo }n\ge1.
  • Outra fórmula útil: o termo geral de uma PA é
a_n = a_1 + (n-1)r,
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão. Aqui: a_n é o n‑ésimo termo (o que queremos achar em função de n), a_1 é o primeiro termo (aqui 1) e r é a diferença constante entre termos consecutivos.

Passo 3

Como testar na prática: calcular diferenças entre termos consecutivos e ver se são iguais. Vou calcular:
a_2-a_1 = 4-1 = 3,
a_3-a_2 = 7-4 = 3,
a_4-a_3 = 10-7 = 3.
As diferenças são todas iguais a 3. Logo, a sequência satisfaz a definição de PA e a razão é r=3.

Passo 4

Determinar o termo geral usando a fórmula da PA. Substituindo a_1=1 e r=3 em
a_n = a_1 + (n-1)r,
obtemos
a_n = 1 + (n-1)\cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2.
Verificação rápida: para n=1 3\cdot1-2=1; para n=2 4; para n=3 7. Tudo coerente.

Passo 5

Classificação (crescente/decrescente/constante). Regra prática:
  • Se r>0 então a PA é crescente.
  • Se r<0 então a PA é decrescente.
  • Se r=0 então a PA é constante.
Aqui r=3>0, portanto a sequência é crescente (aumenta à medida que n cresce).

Passo 6

Dica rápida para a prova: basta verificar duas diferenças consecutivas; se forem iguais, é PA e aquela diferença é a razão. Para classificar, observe o sinal da razão. Respira fundo — você conseguiu identificar e escrever o termo geral de forma bem direta!

Resposta

É PA; razão r=3; classificada como crescente.

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