1. (FATES) Considere as seguintes sequências de números:
    I. 3,7,11, \ldots
    II. 2,6,18, \ldots
    III. 2,5,10,17, \ldots
O número que continua cada uma das sequências na ordem dada deve ser respectivamente:
a) 15,36 e 24
b) 15 , 54 e 24
c) 15,54 e 26
d) 17,54 e 26
e) 17,72 e 26

Passo 1

O enunciado dá três sequências e pede o número que continua cada uma, na ordem I, II e III. As sequências são:
  • I: 3,7,11,\ldots
  • II: 2,6,18,\ldots
  • III: 2,5,10,17,\ldots
O que se pede é: encontrar o próximo termo de cada sequência (três números), e então identificar qual alternativa da lista corresponde a esses três números.

Passo 2

Analisando a sequência I: 3,7,11,\ldots
Calcule as diferenças entre termos consecutivos:
7-3=4,\qquad 11-7=4.
As diferenças são iguais ( 4), portanto a sequência é uma progressão aritmética (PA) com razão comum d=4. Em uma PA, o próximo termo se obtém somando a razão ao termo anterior. Se a_n é o termo atual, o próximo é a_{n+1}=a_n+d.
Aqui o próximo termo vale
11+4=15.
Observação rápida (para a prova): a fórmula geral da n-ésima termo de uma PA é
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo e d a razão.

Passo 3

Analisando a sequência II: 2,6,18,\ldots
Calcule as razões entre termos consecutivos:
\frac{6}{2}=3,\qquad \frac{18}{6}=3.
As razões são iguais ( 3), então é uma progressão geométrica (PG) de razão r=3. Em uma PG, o próximo termo se obtém multiplicando o termo anterior pela razão: a_{n+1}=a_n\cdot r.
Aqui o próximo termo vale
18\cdot 3 = 54.
Observação rápida (para a prova): a fórmula geral da n-ésima termo de uma PG é
a_n = a_1 r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r a razão.

Passo 4

Analisando a sequência III: 2,5,10,17,\ldots
Calcule as diferenças sucessivas:
5-2=3,\qquad 10-5=5,\qquad 17-10=7.
As diferenças formam 3,5,7, que são números ímpares aumentando de 2 em 2. Isso sugere que a próxima diferença continuará esse padrão acrescentando 2:
\text{próxima diferença} = 7+2=9.óç
Então o próximo termo é
17+9=26.
Outra forma de ver (útil na prova): se as segundas diferenças forem constantes, a sequência é quadrática. Aqui as segundas diferenças são
5-3=2,\qquad 7-5=2,
constantes e iguais a 2. Isso indica uma lei do tipo a_n = An^2 + Bn + C. Testando rapidamente com n=1,2,3,4 obtém-se a_n = n^2+1, que dá a_5 = 5^2+1=26, confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Resumo dos próximos termos encontrados:
  • Para I: 15
  • Para II: 54
  • Para III: 26
Comparando com as alternativas fornecidas, esse triplo corresponde à alternativa c).

Resposta

c) 15,54 e 26

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