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Para cada uma das sequências \left\{a_{n}\right\} a seguir, encontre o valor de a_{3}, a_{5}, a_{9} e a_{10}.
a) a_{n}=n^{2}
b) a_{n}=2 n+1
C) a_{1}=1, a_{2}=1 e a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}, para cada n>2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados para cada sequência.
  • O que pedir: para cada sequência dada, encontrar a_{3}, a_{5}, a_{9} e a_{10}.
  • Sequência (a): \{a_{n}\} com a_{n}=n^{2}. Dados: a fórmula explícita para qualquer n.
  • Sequência (b): \{a_{n}\} com a_{n}=2n+1. Dados: a fórmula explícita para qualquer n.
  • Sequência (c): \{a_{n}\} com a_{1}=1, \;a_{2}=1 e \;a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1} para todo n>2. Dados: termos iniciais e uma relação de recorrência que define cada termo a partir dos dois anteriores.

Passo 2

Vamos resolver a sequência (a): \;a_{n}=n^{2}.
  • Explicação da ideia: quando a sequência é dada por uma fórmula explícita em n, basta substituir o índice n pelo valor desejado. Aqui \;a_{n} é o quadrado de n.
  • Cálculos passo a passo:
    • \;a_{3} = 3^{2} = 9.
    • \;a_{5} = 5^{2} = 25.
    • \;a_{9} = 9^{2} = 81.
    • \;a_{10} = 10^{2} = 100.

Passo 3

Vamos resolver a sequência (b): \;a_{n}=2n+1.
  • Explicação da ideia: também é uma fórmula explícita. Substitui-se n pelo índice desejado e faz-se a operação aritmética.
  • Cálculos passo a passo:
    • \;a_{3} = 2\cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7.
    • \;a_{5} = 2\cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11.
    • \;a_{9} = 2\cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19.
    • \;a_{10} = 2\cdot 10 + 1 = 20 + 1 = 21.

Passo 4

Agora a sequência (c): \;a_{1}=1, \;a_{2}=1 e \;a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1} para n>2.
  • Explicação da ideia: aqui cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos anteriores. Esse tipo de sequência é uma sequência recursiva. A forma prática de encontrar a_{3},a_{5},a_{9},a_{10} é calcular os termos em ordem até chegar a a_{10}, porque cada termo depende dos anteriores.
  • Metodologia: calcular a_{3} usando a_{1} e a_{2}; depois a_{4} usando a_{2} e a_{3}; e assim por diante até a_{10}.

Passo 5

Cálculo completo dos termos da sequência (c), mostrando cada soma:
  • Dado inicial:
    • \;a_{1}=1.
    • \;a_{2}=1.
  • Calcular \;a_{3}:
    • \;a_{3}=a_{1}+a_{2}=1+1=2.
  • Calcular \;a_{4}:
    • \;a_{4}=a_{2}+a_{3}=1+2=3.
  • Calcular \;a_{5}:
    • \;a_{5}=a_{3}+a_{4}=2+3=5.
  • Calcular \;a_{6}:
    • \;a_{6}=a_{4}+a_{5}=3+5=8.
  • Calcular \;a_{7}:
    • \;a_{7}=a_{5}+a_{6}=5+8=13.
  • Calcular \;a_{8}:
    • \;a_{8}=a_{6}+a_{7}=8+13=21.
  • Calcular \;a_{9}:
    • \;a_{9}=a_{7}+a_{8}=13+21=34.
  • Calcular \;a_{10}:
    • \;a_{10}=a_{8}+a_{9}=21+34=55.

Resposta

a) \;a_{3}=9,\;a_{5}=25,\;a_{9}=81,\;a_{10}=100
b) \;a_{3}=7,\;a_{5}=11,\;a_{9}=19,\;a_{10}=21
c) \;a_{3}=2,\;a_{5}=5,\;a_{9}=34,\;a_{10}=55

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