Calcule, caso existam, os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y(x-y)}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular, quando existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy(x-y)}{x^{4}+y^{4}}.
  • Informações dadas: a função racional de duas variáveis fora da origem, e o ponto de acumulação (0,0) ao qual (x,y) se aproxima.

Passo 2

Conceito e estratégia didática rápida (sem jargões desnecessários).
  • Para que o limite de uma função de duas variáveis exista e seja igual a um número L, todas as sequências (x_n,y_n) que tendem a (0,0) devem produzir valores da função que tendem ao mesmo L. Uma maneira prática de testar existência é estudar o comportamento ao longo de diferentes caminhos (por exemplo, retas y=kx, eixos, curvas especiais).
  • Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes (um finito diferente do outro, ou um finito e outro que tende a infinito, ou um caminho que produz valores não limitados), então o limite não existe.
  • Vou usar esses testes: primeiro comprobar o comportamento em caminhos onde o numerador se anula facilmente (eixo y=0 e reta y=x), depois analisar uma reta genérica y=kx com k diferente de 0 e 1 para ver se aparece comportamento divergente.

Passo 3

Avaliação do limite ao longo do eixo y=0.
  • Substituindo y=0 na expressão:
\frac{xy(x-y)}{x^{4}+y^{4}} \Bigg|_{y=0} = \frac{x\cdot 0 \cdot (x-0)}{x^{4}+0} = 0.
  • Portanto, ao longo do caminho y=0 (ou seja, aproximando-se de (0,0) pela abscissa), a função vale 0 para todo x\neq0, e logo o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 4

Avaliação do limite ao longo da reta y=x.
  • Se y=x então x-y=0, logo
\frac{xy(x-y)}{x^{4}+y^{4}} \Bigg|_{y=x} = 0.
  • Assim, pelo caminho y=x também o valor da função é 0, confirmando que alguns caminhos dão limite 0.

Passo 5

Avaliação ao longo de uma reta genérica y=kx (teste crítico).
  • Seja k\in\mathbb{R}. Substituindo y=kx (com x\to0) obtemos:
\frac{xy(x-y)}{x^{4}+y^{4}} = \frac{x\cdot (kx)\cdot(x-kx)}{x^{4}+(kx)^{4}} = \frac{k(1-k)\,x^{3}}{x^{4}\bigl(1+k^{4}\bigr)} = \frac{k(1-k)}{1+k^{4}}\cdot\frac{1}{x}.
  • Observe o fator \dfrac{1}{x}. Para qualquer k diferente de 0 e diferente de 1 (isto é, quando k(1-k)\neq0), a expressão fica proporcional a 1/x. Portanto, quando x\to0 esse quociente não tende a um número finito: tende para +\infty se o coeficiente for positivo e x\to0^{+}, tende para -\infty se o coeficiente for negativo e x\to0^{+}, e em geral é não limitado quando x\to0.

Passo 6

Exemplo numérico concreto (escolha de k) para deixar claro o comportamento divergente.
  • Tome k=\tfrac{1}{2}. Então, ao longo da reta y=\tfrac{1}{2}x,
\frac{xy(x-y)}{x^{4}+y^{4}} = \frac{\tfrac{1}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)}{1+(\tfrac{1}{2})^{4}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{1}{16}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{17}{16}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{4}{17}\cdot\frac{1}{x}.
  • Assim, se escolhemos x\to0^{+} a expressão tende para +\infty; se x\to0^{-} tende para -\infty. Em particular, os valores da função ao longo dessa reta não ficam próximos de 0 quando x\to0; ao contrário, não são limitados.

Passo 7

Conclusão lógica final.
  • Encontramos caminhos (por exemplo y=0 ou y=x) que dão limite 0, e encontramos um caminho ( y=\tfrac{1}{2}x, ou qualquer y=kx com k\notin\{0,1\}) em que a expressão tende a infinito (não fica limitada) ao aproximar (0,0). Como há caminhos com comportamentos distintos, o limite em duas variáveis não pode existir como um único número finito. Portanto o limite não existe.

Resposta

Não existe.

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