Informações dadas: a função racional de duas variáveis fora da origem, e o ponto de acumulação (0,0) ao qual (x,y) se aproxima.
Passo 2
Conceito e estratégia didática rápida (sem jargões desnecessários).
Para que o limite de uma função de duas variáveis exista e seja igual a um número L, todas as sequências (x_n,y_n) que tendem a (0,0) devem produzir valores da função que tendem ao mesmo L. Uma maneira prática de testar existência é estudar o comportamento ao longo de diferentes caminhos (por exemplo, retas y=kx, eixos, curvas especiais).
Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes (um finito diferente do outro, ou um finito e outro que tende a infinito, ou um caminho que produz valores não limitados), então o limite não existe.
Vou usar esses testes: primeiro comprobar o comportamento em caminhos onde o numerador se anula facilmente (eixo y=0 e reta y=x), depois analisar uma reta genérica y=kx com k diferente de 0 e 1 para ver se aparece comportamento divergente.
Portanto, ao longo do caminho y=0 (ou seja, aproximando-se de (0,0) pela abscissa), a função vale 0 para todo x\neq0, e logo o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 4
Avaliação do limite ao longo da reta y=x.
Se y=x então x-y=0, logo
\frac{xy(x-y)}{x^{4}+y^{4}} \Bigg|_{y=x} = 0.
Assim, pelo caminho y=x também o valor da função é 0, confirmando que alguns caminhos dão limite 0.
Passo 5
Avaliação ao longo de uma reta genérica y=kx (teste crítico).
Seja k\in\mathbb{R}. Substituindo y=kx (com x\to0) obtemos:
Observe o fator \dfrac{1}{x}. Para qualquer k diferente de 0 e diferente de 1 (isto é, quando k(1-k)\neq0), a expressão fica proporcional a 1/x. Portanto, quando x\to0 esse quociente não tende a um número finito: tende para +\infty se o coeficiente for positivo e x\to0^{+}, tende para -\infty se o coeficiente for negativo e x\to0^{+}, e em geral é não limitado quando x\to0.
Passo 6
Exemplo numérico concreto (escolha de k) para deixar claro o comportamento divergente.
Tome k=\tfrac{1}{2}. Então, ao longo da reta y=\tfrac{1}{2}x,
Assim, se escolhemos x\to0^{+} a expressão tende para +\infty; se x\to0^{-} tende para -\infty. Em particular, os valores da função ao longo dessa reta não ficam próximos de 0 quando x\to0; ao contrário, não são limitados.
Passo 7
Conclusão lógica final.
Encontramos caminhos (por exemplo y=0 ou y=x) que dão limite 0, e encontramos um caminho (y=\tfrac{1}{2}x, ou qualquer y=kx com k\notin\{0,1\}) em que a expressão tende a infinito (não fica limitada) ao aproximar (0,0). Como há caminhos com comportamentos distintos, o limite em duas variáveis não pode existir como um único número finito. Portanto o limite não existe.