2 Em cada uma das sequências \left\{a_{n}\right\} a seguir, escreva uma fórmula para a_{n}.
a) 1,0,1,0,1,0,1,0, \ldots
b) 2,1,4,3,6,5,8,7, \ldots
c) 1,-4,9,-16,25,-36, \ldots
d) 1,3,6,10,15, \ldots

Passo 1

O enunciado pede: para cada sequência abaixo, escrever uma fórmula explícita para a_{n} (assumindo os termos indexados por n=1,2,3,\dots). As sequências dadas são:
a) 1,0,1,0,1,0,1,0,\ldots
b) 2,1,4,3,6,5,8,7,\ldots
c) 1,-4,9,-16,25,-36,\ldots
d) 1,3,6,10,15,\ldots
Objetivo: para cada item encontrar uma fórmula que, ao substituirmos n=1,2,3,\dots, gere exatamente os termos acima.

Passo 2

Resolvendo (a). Observação do padrão: os termos alternam entre 1 e 0, começando por 1 quando n=1. Isso é um comportamento típico de dependência da paridade de n (índices ímpares dão 1, índices pares dão 0).
Ferramenta útil: a potência (-1)^n alterna entre 1 e -1 conforme a paridade de n: para n ímpar (-1)^n=-1, para n par (-1)^n=1. Combinando (-1)^n de forma linear podemos obter um indicador de paridade que vale 1 para ímpar e 0 para par. Uma forma simples é
a_{n}=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}.
Verificação rápida: para n=1 temos (-1)^{2}=1 e a_{1}=(1+1)/2=1; para n=2 temos (-1)^{3}=-1 e a_{2}=(1-1)/2=0. Assim gera 1,0,1,0,\dots.
Explicação didática: (-1)^{n+1} é 1 quando n é ímpar e -1 quando n é par; somando 1 e dividindo por 2 convertemos esses valores em 1 (para ímpar) ou 0 (para par).

Passo 3

Resolvendo (b). Observação do padrão: os termos aparecem em pares (2,1),(4,3),(6,5),\dots. Para n ímpar (digamos n=2k-1) o termo é 2k; para n par ( n=2k) o termo é 2k-1.
Forma peça‑wise (clara): se n=2k-1 então a_n=2k; se n=2k então a_n=2k-1. Podemos reescrever isso em termos de n sem usar k. Uma expressão simples e compacta é
a_{n}=n+(-1)^{n+1}.
Verificação: para n=1 temos 1+1=2; para n=2 temos 2-1=1; para n=3 temos 3+1=4; etc., gerando 2,1,4,3,6,5,\dots.
Explicação didática: a correção +(-1)^{n+1} adiciona +1 quando n é ímpar (subindo n para o par seguinte) e subtrai 1 quando n é par (baixando n para o ímpar anterior), exatamente o comportamento observado.

Passo 4

Resolvendo (c). Observação do padrão: os valores absolutos são 1,4,9,16,25,36,\dots, ou seja 1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\dots. Os sinais alternam +,-,+,-,\dots, começando com + em n=1.
Uma expressão direta que combina quadrados com alternância de sinal é
a_{n}=(-1)^{n+1}\,n^{2}.
Verificação: para n=1, (-1)^{2}=1 e a_{1}=1\cdot1^{2}=1; para n=2, (-1)^{3}=-1 e a_{2}=-1\cdot2^{2}=-4; para n=3, +9; etc. Gera 1,-4,9,-16,25,-36,\dots.
Explicação didática: (-1)^{n+1} controla o sinal (positivo para n ímpar, negativo para n par) e n^{2} dá a magnitude quadrática. Combinar esses dois fatores é natural quando se tem quadrados com sinal alternado.

Passo 5

Resolvendo (d). Observação do padrão: 1,3,6,10,15,\dots. Notar as diferenças entre termos consecutivos:
3-1=2,\quad 6-3=3,\quad 10-6=4,\quad 15-10=5,\dots
As diferenças são 2,3,4,5,\dots, ou seja, na etapa n adiciona‑se n ao termo anterior (mais precisamente, indo de a_{n-1} para a_n soma‑se n). Isso significa que a_n é a soma dos primeiros n inteiros positivos:
a_n = 1+2+3+\cdots+n.
Fórmula fechada clássica (fórmula dos números triangulares):
a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}.
Verificação: para n=1 obtemos 1; para n=2 obtemos 3; para n=3 obtemos 6; para n=4 obtemos 10; para n=5 obtemos 15. Tudo bate.
Derivação curta (intuição/Gauss): somando a sequência 1+2+\cdots+n com ela escrita ao contrário n+(n-1)+\cdots+1 obtém‑se n pares cada um somando n+1, logo 2(1+2+\cdots+n)=n(n+1), daí a fórmula acima.

Resposta

a_{n}=\dfrac{1+(-1)^{n+1}}{2}
a_{n}=n+(-1)^{n+1}
a_{n}=(-1)^{n+1}\,n^{2}
a_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}

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