2 Em cada uma das sequências
a seguir, escreva uma fórmula para
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede: para cada sequência abaixo, escrever uma fórmula explícita para
(assumindo os termos indexados por
). As sequências dadas são:
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Objetivo: para cada item encontrar uma fórmula que, ao substituirmos
, gere exatamente os termos acima.
Passo 2
Resolvendo (a). Observação do padrão: os termos alternam entre
e
, começando por
quando
. Isso é um comportamento típico de dependência da paridade de
(índices ímpares dão
, índices pares dão
).
Ferramenta útil: a potência
alterna entre
e
conforme a paridade de
: para
ímpar
, para
par
. Combinando
de forma linear podemos obter um indicador de paridade que vale
para ímpar e
para par. Uma forma simples é
Verificação rápida: para
temos
e
; para
temos
e
. Assim gera
.
Explicação didática:
é
quando
é ímpar e
quando
é par; somando
e dividindo por
convertemos esses valores em
(para ímpar) ou
(para par).
Passo 3
Resolvendo (b). Observação do padrão: os termos aparecem em pares
. Para
ímpar (digamos
) o termo é
; para
par (
) o termo é
.
Forma peça‑wise (clara): se
então
; se
então
. Podemos reescrever isso em termos de
sem usar
. Uma expressão simples e compacta é
Verificação: para
temos
; para
temos
; para
temos
; etc., gerando
.
Explicação didática: a correção
adiciona
quando
é ímpar (subindo
para o par seguinte) e subtrai
quando
é par (baixando
para o ímpar anterior), exatamente o comportamento observado.
Passo 4
Resolvendo (c). Observação do padrão: os valores absolutos são
, ou seja
. Os sinais alternam
, começando com
em
.
Uma expressão direta que combina quadrados com alternância de sinal é
Verificação: para
,
e
; para
,
e
; para
,
; etc. Gera
.
Explicação didática:
controla o sinal (positivo para
ímpar, negativo para
par) e
dá a magnitude quadrática. Combinar esses dois fatores é natural quando se tem quadrados com sinal alternado.
Passo 5
Resolvendo (d). Observação do padrão:
. Notar as diferenças entre termos consecutivos:
As diferenças são
, ou seja, na etapa
adiciona‑se
ao termo anterior (mais precisamente, indo de
para
soma‑se
). Isso significa que
é a soma dos primeiros
inteiros positivos:
Fórmula fechada clássica (fórmula dos números triangulares):
Verificação: para
obtemos
; para
obtemos
; para
obtemos
; para
obtemos
; para
obtemos
. Tudo bate.
Derivação curta (intuição/Gauss): somando a sequência
com ela escrita ao contrário
obtém‑se
pares cada um somando
, logo
, daí a fórmula acima.