Seja
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0,(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
(b) Verifique que as derivadas mistas não são iguais:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede duas coisas:
(a) calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} (isto é, obter fórmulas válidas para (x,y)\neq(0,0) e também os valores em (0,0));
(b) verificar que as derivadas mistas não são iguais, isto é mostrar explicitamente que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(0,0)\neq\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(0,0).
As informações relevantes dadas são exatamente a expressão de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. A resolução começará a partir destas fórmulas.]

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} para (x,y)\neq(0,0) usando a regra do quociente. Para simplificar a notação, escrevo o numerador e o denominador:
N(x,y)=x^3y-xy^3,\qquad D(x,y)=x^2+y^2,
de modo que \displaystyle f=\frac{N}{D}. A regra do quociente diz que, derivando em relação a x e mantendo y fixo,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},
onde N_x é a derivada parcial de N em relação a x e D_x a de D.
Calculemos N_x e D_x:
N_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^3y-xy^3)=3x^2y-y^3, \qquad D_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=2x.
Agora aplicamos a fórmula:
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &=\frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}\\[6pt] &=\frac{3x^4y+2x^2y^3-y^5-2x^4y+2x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}\\[6pt] &=\frac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}. \end{aligned}
Podemos também escrever de forma factorizada:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y\bigl(x^4+4x^2y^2-y^4\bigr)}{(x^2+y^2)^2},\qquad (x,y)\neq(0,0).]

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0), de modo análogo. Usando N=x^3y-xy^3 e D=x^2+y^2, aplicamos a regra do quociente com derivada em y:
N_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^3y-xy^3)=x^3-3xy^2, \qquad D_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y.
Logo
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} &=\frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}\\[6pt] &=\frac{x^5-2x^3y^2-3xy^4-2x^3y^2+2xy^4}{(x^2+y^2)^2}\\[6pt] &=\frac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}. \end{aligned}
Fatorando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x\bigl(x^4-4x^2y^2-y^4\bigr)}{(x^2+y^2)^2},\qquad (x,y)\neq(0,0).]

Passo 4

Agora precisamos dos valores das derivadas parciais no ponto (0,0). Usamos a definição de derivada parcial por limite. Por exemplo,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e h\neq0 temos, da expressão original,
f(h,0)=\frac{h\cdot 0\cdot(h^2-0)}{h^2+0}=0.
Portanto \dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0 para todo h\neq0, logo o limite é 0. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
De forma análoga,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Mas f(0,k)=0 para todo k, então o limite também é 0. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Resumo até aqui: as derivadas parciais são dadas por as fórmulas obtidas nos passos 2 e 3 para (x,y)\neq(0,0), e valem 0 em (0,0).

Passo 5

Agora calculamos as derivadas mistas no ponto (0,0). Primeiro \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0) — isto é, derivar primeiro em y e depois em x. Pela definição de derivada parcial aplicada à função g(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y),
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)(0,0) =\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h}.
Usamos a expressão de \dfrac{\partial f}{\partial y} válida para (x,y)\neq(0,0) e avaliamos em y=0. Substituindo y=0 na fórmula do passo 3:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)=\frac{x^5}{(x^2)^2}=x\qquad (x\neq0).
Como \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, o quociente no limite é \dfrac{x-0}{x}=1 para x\neq0. Portanto
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}1=1.

Passo 6

Agora calculemos \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0), ou seja, derivar primeiro em x e depois em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr)(0,0) =\lim_{k\to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,k)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{k}.
Usamos a expressão de \dfrac{\partial f}{\partial x} do passo 2 e avaliamos em x=0. Substituindo x=0 na fórmula do passo 2:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=\frac{-y^5}{(y^2)^2}=-y\qquad (y\neq0).
Como \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, o quociente no limite é \dfrac{-y-0}{y}=-1 para y\neq0. Portanto
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=\lim_{k\to0}(-1)=-1.

Passo 7

Concluímos que as duas derivadas mistas no ponto (0,0) são diferentes:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=1\quad\text{e}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1,
portanto
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)\neq\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0).
Comentário final (didático): a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut) exige hipóteses de continuidade das derivadas parciais de segunda ordem numa vizinhança. Aqui essas hipóteses falham em (0,0), o que permite que as mistas sejam diferentes.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0),\end{cases}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}
(b) \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1]

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