Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série.
sumn=1^infty 1n^2+n

Passo 1

A questão pede a soma da série sumn=1^infty 1n^2+n. Isso cai no conteúdo de séries telescópicas e vamos precisar usar frações parciais para identificar o cancelamento entre termos.

Passo 2

Para decompor o termo geral, usamos frações parciais. Queremos escrever 1n(n+1) como soma de frações simples. Assim, procuramos 1n(n+1) = An + Bn+1. Multiplicando ambos os lados por n(n+1), obtemos 1 = A(n+1) + Bn. Igualando coeficientes, vemos que A=1 e B=-1. Logo:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Agora, definimos a soma parcial de índice N:
SN = sumn=1^N 1n^2+n = sumn=1^N l(1n - 1n+1r)

Passo 4

Observe o telescópio:
SN = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + cdots + l(tfrac1N - tfrac1N+1r)

Passo 5

Quase tudo cancela, sobrando somente:
SN = 1 - 1N+1 = NN+1

Passo 6

Por fim, para achar o valor da série, calculamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = limNtoinfty NN+1 = 1

Resposta

A soma parcial de índice N é SN = NN+1 e o valor da série é 1.

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