Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 1(t^2+1)(t+1) d t

Passo 1

Vamos calcular I=integral0^11(t^2+1)(t+1),dt. O conteúdo é integração de função racional usando frações parciais, e vamos precisar usar decomposição em partes simples, além de integrais básicas de logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Precisamos achar constantes A,B,C tais que
1(t+1)(t^2+1)=At+1+Bt+Ct^2+1
Multiplicando ambos os lados por (t+1)(t^2+1) vem
1=A(t^2+1)+(Bt+C)(t+1)= (A+B)t^2+(B+C)t+(A+C)
Igualando coeficientes obtemos o sistema
A+B=0, B+C=0, A+C=1
Daí A=1/2, B=-1/2, C=1/2.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
I=12integral0^1dtt+1-12integral0^1t,dtt^2+1+12integral0^1dtt^2+1
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 4

Para a primeira parte
I1=integral0^1dtt+1=[ln(t+1)]0^1=ln2
Para a segunda parte
I2=integral0^1t,dtt^2+1=12[ln(t^2+1)]0^1=12ln2
Para a terceira parte
I3=integral0^1dtt^2+1=[arctan t]0^1=pi4

Passo 5

Agora multiplicamos pelos coeficientes e somamos:
I=12I1-12I2+12I3=12(ln2)-12l(tfrac12ln2r)+12l(tfracpi4r)
Logo
$$I=\frac{1}{4}\ln2+\frac{\pi}{8}.
$$

Resposta

14ln2+pi8

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