Usando a substituição x=tan (u), calcular :
integral0^1 arcsen(2 x1+x^2) d x
Dica : voce pode usar que sen(2 u)=2 tan (u)1+tan ^2(u)

Passo 1

Na integral original, queremos calcular a integral integral0^1arcsinl(tfrac2x1+x^2r),dx. O conteúdo envolve substituição trigonométrica e uso da identidade sin(2u)=tfrac2tan u1+tan^2 u, além de integração por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição x=tan(u), temos tfrac2x1+x^2=sin(2u) e então arcsinl(tfrac2x1+x^2r)=2u. Também dx=sec^2(u),du. Os limites mudam de x=0to u=0 e x=1to u=tfracpi4. A integral torna-se integral0^pi/42usec^2(u),du.

Passo 3

Para calcular integral2usec^2(u),du, usamos integração por partes. Tome f(u)=2u e g'(u)=sec^2(u), logo f'(u)=2 e g(u)=tan u. Assim temos
integral2usec^2(u),du = 2utan u - 2integraltan u,du

Passo 4

Calculando os termos, 2utan u|0^pi/4=2cdottfracpi4cdot1=tfracpi2. E como integraltan u,du=-ln(cos u), o segundo termo é
-2integral0^pi/4tan u,du = -2[-ln(cos u)]0^pi/4 = 2l[ln(cos(tfracpi4))-ln(cos0)r] = -ln2

Passo 5

Somando tudo, obtemos tfracpi2-ln2.

Resposta

pi2-ln2

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