Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 1t^2+5 t+6 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 da função 1/(t^2+5t+6). O conteúdo principal é a integração de função racional, que normalmente exige fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o polinômio do denominador: t^2+5t+6=(t+2)(t+3).
Em seguida, montamos a decomposição em frações parciais: 1(t+2)(t+3)=At+2+Bt+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (t+2)(t+3), obtemos 1=A(t+3)+B(t+2). Isso leva ao sistema
A+B=0, 3A+2B=1

Passo 4

Resolvendo o sistema: de A+B=0 vem B=-A. Substituindo em 3A+2B=1 3A-2A=1, logo A=1 e B=-1.
Assim a integral fica
integral0^1l(1t+2-1t+3r)dt
Integrando, temos
integraldtt+a=ln|t+a|+C,
então
ln|t+2| - ln|t+3| de 0 a 1.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites: para t=1 ln3-ln4, e para t=0 ln2-ln3. Fazendo a diferença:
(ln3-ln4)-(ln2-ln3)=2ln3-ln4-ln2=2ln3-ln8=ln98

Resposta

ln98

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