Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série.

Passo 1

A gente tem a série sumn=0^infty (tfrac23)^n. O conteúdo é série geométrica, e pra resolver a gente vai precisar da fórmula da soma parcial e da soma infinita de uma progressão geométrica quando |r|<1.

Passo 2

Na teoria, a soma dos primeiros n+1 termos de uma série geométrica de primeiro termo a e razão r é
Sn = a 1 - r^n+11 - r
Aqui identificamos que o primeiro termo é a = (tfrac23)^0 = 1 e a razão é r = tfrac23.

Passo 3

Substituindo a = 1 e r = tfrac23 na fórmula da soma parcial, obtemos
Sn = 1 cdot 1 - (tfrac23)^n+11 - tfrac23 = 1 - (tfrac23)^n+1tfrac13 = 3l(1 - (tfrac23)^n+1r)

Passo 4

Como |r| = \tfrac{2}{3} < 1, a série converge e o termo (2/3)^n+1 tende a zero quando n to infty. Logo,
sumn=0^infty (tfrac23)^n = limntoinfty Sn = 3,(1 - 0) = 3

Resposta

A n-ésima soma parcial é Sn = 3l(1 - (tfrac23)^n+1r) e o valor da soma da série é 3.

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