Calcular as integrais seguintes usando substituição :
integral0^pi2 cos (x)6-5 sen(x)+sen^2(x) d x (u=sen x)

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos calcular a integral integral0^pi2 cos(x)6-5sin(x)+sin^2(x),dx. O conteúdo envolve técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Substituição trigonométrica: tomamos u=sin x, logo du=cos x,dx. Nos limites, quando x=0 temos u=0 e quando x=pi/2 temos u=1. A integral passa a ser
integral0^1 16-5u+u^2,du .

Passo 3

Resolvendo a integral racional: note que
6-5u+u^2=u^2-5u+6=(u-2)(u-3)
Fazendo frações parciais:
1(u-2)(u-3)=Au-2+Bu-3,
com
1=A(u-3)+B(u-2)
Escolhendo u=2 obtém-se A=-1, e com u=3 obtém-se B=1. Assim
integral0^1duu^2-5u+6=integral0^1l(-1u-2+1u-3r),du

Passo 4

Integração e avaliação dos limites: integrando cada termo,
integrall(-1u-2+1u-3r),du=-ln|u-2|+ln|u-3|
Avaliando de 0 a 1,
l[-ln|u-2|+ln|u-3|r]0^1=2ln2-ln3=ln43

Resposta

ln43

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