Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma parcial de ordem n da série sumk=1^infty lnl(tfrackk+1r) e depois avaliar o valor da soma (se convergir). Vamos usar a propriedade de logaritmos lnl(tfrackk+1r)=ln k - ln(k+1) e observar que ocorre um efeito telescópico.

Passo 2

Escrevemos a soma parcial Sn como
Sn=sumk=1^n lnl(tfrackk+1r)=sumk=1^nl(ln k - ln(k+1)r)

Passo 3

Ao expandir em somas, a maioria dos termos se cancela:
Sn=(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln n-ln(n+1))=ln1-ln(n+1)=-ln(n+1)

Passo 4

Para ver o comportamento quando ntoinfty, note que ln(n+1)toinfty, logo
limntoinftySn=-limntoinftyln(n+1)=-infty

Resposta

A soma parcial de ordem n é Sn=-ln(n+1) e a série diverge, pois limntoinftySn=-infty.

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