Calcular as integrais seguintes usando substituição :
integral0^pi / 2 1cos (x)+sen(x) d x (u=tan x2)

Passo 1

A gente quer calcular integral0^pi/2dxcos x + sin x. O conteúdo aqui é a substituição de Weierstrass, que usa u=tan(x/2). Para resolver, vamos precisar expressar sin x, cos x e dx em função de u e depois integrar por frações parciais.

Passo 2

Sabendo que u=tan(x/2), temos as fórmulas clássicas:
sin x=2u1+u^2, cos x=1-u^21+u^2, dx=21+u^2,du
Os limites mudam de x=0to u=0 e x=pi/2to u=1.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original:
integral0^pi/2dxcos x+sin x = integral0^12/(1+u^2)tfrac1-u^21+u^2+tfrac2u1+u^2,du = integral0^121 - u^2 +2u,du
Repare que 1 - u^2 +2u=-(u^2-2u-1), logo
integral0^121 - u^2 +2u,du = -2integral0^1duu^2-2u-1

Passo 4

Para integrar integral du/(u^2-2u-1) fazemos frações parciais. Primeiro fatoramos
u^2-2u-1=(u-(1-raiz2))(u-(1+raiz2))
A decomposição leva a
-2u^2-2u-1=1/raiz2u-(1-raiz2)-1/raiz2u-(1+raiz2)
Integrando cada parte, usamos integral du/(u-a)=ln|u-a|+C, e chegamos à antiderivada
F(u)=1raiz2lnl|u-(1-raiz2)u-(1+raiz2)r|

Passo 5

Falta avaliar de u=0 a u=1:
F(1)=tfrac1raiz2ln1=0, F(0)=tfrac1raiz2lnl|3-2raiz2r|
Então a integral vale
$$0 - F(0)=-\tfrac{1}{\sqrt2}\ln\bigl|3-2\sqrt2\bigr|=\tfrac{1}{\sqrt2}\ln\frac{1}{3-2\sqrt2}=\tfrac{1}{\sqrt2}\ln(3+2\sqrt2).
$$
Reconhecendo 0 - F(0)=-tfrac1raiz2lnl|3-2raiz2r|=tfrac1raiz2ln13-2raiz2=tfrac1raiz2ln(3+2raiz2) , obtemos

Passo 6

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