Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é: Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando os testes usados. Informação importante que temos: o termo geral é
.
Passo 2
Teste de convergência absoluta (o que significa e como testar).
- Definição: uma série
é absolutamente convergente se a série com os módulos converge. - Aqui calculemos
. Então a série de módulos é
- Observação: a série
é essencialmente a série harmônica (somando a partir de em vez de ), e a série harmônica
é conhecida por divergir. Para tornar isso rigoroso, usemos o teste da comparação-limite: compare
com
.
Como o limite é um número finito e positivo e a série
diverge, segue que
também diverge.
- Conclusão parcial: a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste de convergência condicional (Alternating Series Test / Critério de Leibniz).
- Enunciado do critério (forma prática): se
para todo , (sequência não crescente) e , então a série alternada converge. - No nosso caso, tome
. Verificações: -
para todo . - Monotonicidade: para todo
,
logo é estritamente decrescente.
3. Limite: -
- Pelo critério de Leibniz, a série
converge.
Passo 4
Conclusão sobre tipo de convergência.
- Encontramos que a série não converge absolutamente (Passo 2) e que converge (Passo 3). Portanto a convergência é condicional.
- Comentário extra (útil para prova): às vezes é pedido também o valor da soma. Podemos calcular trocando o índice: colocando
obtemos
Sabe-se que a série alternada harmônica vale
Subtraindo o termo
(que é
), obtemos
Isso mostra, além da classificação, o valor da soma:
.
Resposta
Condicionalmente Convergente