Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}
e pede para determinar se ela é: Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando os testes usados. Informação importante que temos: o termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}.

Passo 2

Teste de convergência absoluta (o que significa e como testar).
  • Definição: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série com os módulos \sum |a_n| converge.
  • Aqui calculemos |a_n|=\dfrac{1}{n+1}. Então a série de módulos é
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}.
  • Observação: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+1} é essencialmente a série harmônica (somando a partir de n=1 em vez de n=0), e a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é conhecida por divergir. Para tornar isso rigoroso, usemos o teste da comparação-limite: compare \dfrac{1}{n+1} com \dfrac{1}{n}.
\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Como o limite é um número finito e positivo e a série \sum \tfrac{1}{n} diverge, segue que \sum \tfrac{1}{n+1} também diverge.
  • Conclusão parcial: a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de convergência condicional (Alternating Series Test / Critério de Leibniz).
  • Enunciado do critério (forma prática): se b_n\ge 0 para todo n, b_{n+1}\le b_n (sequência não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge.
  • No nosso caso, tome b_n=\dfrac{1}{n+1}. Verificações:
    1. b_n>0 para todo n.
    2. Monotonicidade: para todo n,
    b_{n+1}=\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}=b_n,logo (b_n) é estritamente decrescente.
    3. Limite: \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
  • Pelo critério de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}
converge.

Passo 4

Conclusão sobre tipo de convergência.
  • Encontramos que a série não converge absolutamente (Passo 2) e que converge (Passo 3). Portanto a convergência é condicional.
  • Comentário extra (útil para prova): às vezes é pedido também o valor da soma. Podemos calcular trocando o índice: colocando m=n+1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m}.
Sabe-se que a série alternada harmônica vale
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m}=\ln 2.
Subtraindo o termo m=1 (que é 1), obtemos
\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m}=\ln 2-1.
Isso mostra, além da classificação, o valor da soma: \ln 2-1\approx -0{,}3069.

Resposta

Condicionalmente Convergente

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