Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro p in R para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as p-séries.)
sumn=1^infty ln nn^p

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de pinR a série
sumn=1^inftyln nn^p
é convergente. O conteúdo principal é o Teste da Integral aplicado a séries dependentes de parâmetro, assim como nas p-séries.

Passo 2

Definimos
f(x)=ln xx^p,
para x>=1. Note que f(x) é positiva e, para x grande, decrescente sempre que p>0. Pelo Teste da Integral, a série converge se, e somente se,
integral1^inftyf(x),dx=integral1^inftyln xx^p,dx
converge.

Passo 3

Para pneq1, usamos integração por partes com
&u=ln x, dv=x^-p,dx, &du=1x,dx, v=x^1-p1-p
Então:
integral1^inftyln xx^p,dx =ln x,x^1-p1-p|1^infty -integral1^inftyx^1-p1-pcdot1x,dx
Quando p>1, o termo de borda em infty tende a zero e resta
-11-pintegral1^inftyx^-p,dx =1p-1cdot1p-1 =1(p-1)^2,
o que é finito.

Passo 4

No caso p=1, a integral fica
integral1^inftyln xx,dx =(ln x)^22|1^infty =infty,
e diverge. Se p<1, o fator x^1-p cresce ainda mais e também diverge. Portanto, a integral diverge para p<=1.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, a série converge exatamente quando a integral associada converge, ou seja, para p>1.

Resposta

A série converge somente para p>1.

Exercícios relacionados