(ii) Seja f contínua e limitada em R. Mostre que existe algum número x tal que f(x)=x.

Passo 1

O enunciado diz: seja f contínua e limitada em ℝ, prove que existe x com f(x)=x. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado a uma função auxiliar, e usaremos a limitação de f para analisar os limites de outra função quando x→±∞.

Passo 2

Definimos a função auxiliar g por g(x)=f(x)−x. Como f é contínua em ℝ e x↦x também é contínua, g é contínua em ℝ, condição necessária para aplicar o TVI.

Passo 3

Como f é limitada, existem constantes m e M tais que m≤f(x)≤M para todo x. Para x grande positivo, temos g(x)=f(x)−x≤M−x. Quando x→+∞, M−x→−∞, então existe X>0 tal que g(X)<0.

Passo 4

Analogamente, para x grande negativo, g(x)=f(x)−x≥m−x. Quando x→−∞, m−x→+∞, logo existe Y<0 tal que g(Y)>0.

Passo 5

Agora g é contínua e troca de sinal entre Y e X (g(Y)>0 e g(X)<0). Pelo Teorema do Valor Intermediário existe c∈(Y,X) tal que g©=0. Daí f©−c=0, logo f©=c.

Resposta

Existe pelo menos um x em ℝ tal que f(x)=x.

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