Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro
para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as
-séries.)
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Integral para séries, definindo a função
para
.
Passo 2
Para aplicar o Teste da Integral, verificamos que
para
e que
é decrescente nessa faixa. Então comparamos a série com a integral imprópria
Passo 3
Fazemos a substituição
, de onde
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira:
Passo 4
Para
, a primitiva de
é
. Avaliando de
até
:
- Se
, então e quando , logo a integral converge. - Se
, então e , logo diverge.
No caso, a integral é , que também diverge.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, a série
tem o mesmo comportamento da integral acima. Portanto, ela converge se e somente se
.
Resposta
A série converge para p>1 e diverge para p\le1.