Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro p in R para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as p-séries.)
sumn=2^infty 1n(ln n)^p

Passo 1

A série em questão é sumn=2^infty 1n(ln n)^p. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Integral para séries, definindo a função f(x)=1x(ln x)^p para x>=2.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Integral, verificamos que f(x)>0 para x>=2 e que f(x) é decrescente nessa faixa. Então comparamos a série com a integral imprópria
integral2^infty dxx(ln x)^p

Passo 3

Fazemos a substituição t=ln x, de onde dt=tfracdxx. Quando x=2, t=ln2; quando xtoinfty, ttoinfty. A integral vira:
integralln2^infty t^-p,dt

Passo 4

Para pneq1, a primitiva de t^-p é tfract^1-p1-p. Avaliando de ln2 até infty:
  • Se p>1, então 1-p<0 e t^1-pto0 quando ttoinfty, logo a integral converge.
  • Se p<1, então 1-p>0 e t^1-ptoinfty, logo diverge.
    No caso p=1, a integral é integralln2^infty tfracdtt = [ln t]ln2^infty, que também diverge.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1n(ln n)^p tem o mesmo comportamento da integral acima. Portanto, ela converge se e somente se p>1.

Resposta

A série converge para p>1 e diverge para p\le1.

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