Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado.
em
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
em
. O conteúdo aqui é derivada de funções e equação de reta tangente, e vamos precisar calcular a derivada
e o ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
em termos de ln para simplificar
. Sabemos que
, logo
Passo 3
Agora, para achar
, usamos a regra da cadeia na forma simplificada:
$$f’(x)=\frac{1}{\ln(2)}\cdot 2\ln(x)\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)];=
;\frac{2\ln(x)}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln(x)}{x,\ln(2)}.$$
Passo 4
Em seguida, avaliamos
. Como
, temos
Passo 5
Depois, avaliamos
. Substituindo
em
:
Passo 6
Por fim, a equação da reta tangente em
usa a forma ponto-declive:
Resposta
y=x-2+\ln(2)