Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado.
f(x)=ln (x) log 2(x) em x=2

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=ln(x)log2(x) em x=2. O conteúdo aqui é derivada de funções e equação de reta tangente, e vamos precisar calcular a derivada f'(x) e o ponto (2,f(2)).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever log2(x) em termos de ln para simplificar f(x). Sabemos que log2(x)=dfracln(x)ln(2), logo
f(x)=ln(x)cdotln(x)ln(2)=(ln(x))^2ln(2)

Passo 3

Agora, para achar f'(x), usamos a regra da cadeia na forma simplificada:
$$f’(x)=\frac{1}{\ln(2)}\cdot 2\ln(x)\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)];=
;\frac{2\ln(x)}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln(x)}{x,\ln(2)}.$$

Passo 4

Em seguida, avaliamos f(2). Como ln(2)log2(2)=ln(2)cdot1, temos
f(2)=ln(2)

Passo 5

Depois, avaliamos f'(2). Substituindo x=2 em f'(x):
f'(2)=2ln(2)2,ln(2)=1

Passo 6

Por fim, a equação da reta tangente em x=2 usa a forma ponto-declive:
y-f(2)=f'(2),(x-2) Substituindo f(2)=ln(2) e f'(2)=1,
y-ln(2)=1,(x-2)Longrightarrow y=x-2+ln(2)

Resposta

y=x-2+\ln(2)

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