Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro p in R para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as p-séries.)
sumn=3^infty 1n ln n[ln (ln n)]^p

Passo 1

A série em questão é
sumn=3^infty 1n ln n [ln(ln n)]^p,
e queremos determinar para quais valores de pinR essa série converge. O conteúdo é o Teste da Integral para séries e vamos usar a mesma ideia das p-séries.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Integral definimos a função
f(x) = 1x ln x [ln(ln x)]^p,
válida para x>=3. Precisamos verificar que f(x) é positiva e decrescente nesse intervalo, condição que vale porque ln x e ln(ln x) crescem com x.

Passo 3

Analisamos a integral imprópria
integral3^infty f(x),dx = integral3^infty dxx ln x [ln(ln x)]^p
Fazemos a substituição t = ln x, de modo que dt = dxx. Os limites viram t=ln 3 a ttoinfty e a integral torna-se
integralln 3^infty dtt [ln t]^p

Passo 4

Para simplificar ainda mais, fazemos u = ln t, então du = dtt. Os limites agora são u = ln(ln 3) até utoinfty e a integral passa a ser
integralln(ln 3)^infty u^-p,du

Passo 5

Essa última integral converge se e somente se o expoente em u for menor que -1, ou seja, quando
-p < -1 Long<=ftrightarrow p > 1
Para p=1 temos integral du/u divergente, e para p<1 o termo u^-p decai muito devagar, também gerando divergência.

Resposta

A série converge exatamente para p>1.

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