Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro
para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as
-séries.)
Passo 1
A série em questão é
e queremos determinar para quais valores de
essa série converge. O conteúdo é o Teste da Integral para séries e vamos usar a mesma ideia das
-séries.
Passo 2
Para aplicar o Teste da Integral definimos a função
válida para
. Precisamos verificar que
é positiva e decrescente nesse intervalo, condição que vale porque
e
crescem com
.
Passo 3
Analisamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
. Os limites viram
a
e a integral torna-se
Passo 4
Para simplificar ainda mais, fazemos
, então
. Os limites agora são
até
e a integral passa a ser
Passo 5
Essa última integral converge se e somente se o expoente em
for menor que
, ou seja, quando
Para
temos
divergente, e para
o termo
decai muito devagar, também gerando divergência.
Resposta
A série converge exatamente para
.